原始多項式の証明

質問

原始多項式の証明
すみませんこの問題がどうしてもわかりません。だれか教えていただけないでしょうか？

x^4+x+1（この式はFp[x]に含まれる、p=2）はFp上の４次原始多項式であることを示せ。

まず、既約多項式であることを証明して、原始多項式であることを証明するのだと思うのですが・・・
どうかお願いします。

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

取り敢えず証明するべきものが何なのかが分かっていないと
幾ら答えを教えても理解できるはずが無いと思いますので、
まずは「原始多項式」の定義を確認してから補足にでも
書いてください。

どのでこの問題が出たのか分かりませんが、この問題が
書かれているものに（本とか授業とか）定義も書いてあると
思いますが。

お礼

ありがとうございました。なんとか回答にたどり着きました。

補足

定義は整数係数の多項式で係数の最大公約数が１である既約多項式を原始多項式という。
だと思っているのですが・・・間違っているかもしれません。

回答No.3

Tacosan

その定義なら, (最高次の係数が 1 であることは明らかなので) 「既約」であることを示せば OK ですね. で「既約」の定義がわかっていれば簡単, と.
4次式を因数分解すると 1次式か 2次式が出てくることはわかるよね?

お礼

ありがとうございました。なんとか回答にたどり着きました。

補足

それはわかりますが・・・その因数分解ができないから規約多項式であるということでしょうか？
それを数学的にうまくかけないです。

回答No.1

tmpname

そんなもの、明らかな気が... Fpって、位数2の有限体の事ですよね？

『（Fp上の）一変数多項式f(x)が原始多項式である』ことの定義は理解されていますか？

お礼

ありがとうございました。なんとか回答にたどり着きました。

補足

ごめんなさい。理解していないです。
今ググってみましたが、やはり理解できないです。
あと、もちろん位数２の有限体のことです。