代数学の問題です

質問

p,q,k：整数とする。
p,qは互いに素である。
<x>：xの非整数部分とする。
例　<4.7> = 0.7

このとき
k*q ≦ n ＜ (k+1)*q
<n*p/q> = a/q　　(0 ≦ a ＜ q)
となるような整数 n が唯一つ存在する事を証明せよ。
k=0と仮定できるのはなぜか？

自分なりにp,qが互いに素であることより
p*x+q*y=1 となる事を考えて利用しようと思ったのですが見当違いのせいかうまくできませんでした。

どなたかこの問題の解答の分かる方のご解答をお待ちしております。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

まず、kを任意の正の整数、p,qを互いに素な正の整数とさせて頂くと・・・

np=mq+r, 0≦r＜q となる整数m,rが存在する。このとき、
<np/q> = <m+r/q> = r/q
ここで、r≠0 のとき r/q≧1/q 、一方 0≦a＜1 より 0≦ a/q ＜ 1/q なので、r/q = a/q が成立するのは r=a=0 のときのみ。
r=0 のとき np は q の倍数であるが、pとqは互いに素であるから、np がqの倍数となるのは n = kq のときのみ。よって、n = kq のときのみ <np/q> = a/q ( = 0) が成立。

k,p,q を負の整数まで許したとして問題が成立するのかよく調べていませんが（少なくとも、q＜0 なら k＜0 でないと問題が成立しませんね）、
n=kq のときは <np/q>=0 なので a=0 で <np/q> = a/q(=0) が成立
kq＜n＜(k+1)q のときは、上の話の延長線上で
|<np/q>| ≧ 1/|q|
|a/q|＜1/|q|
ですので、<np/q> = a/q を成立させるaは存在しません。

＞　k=0と仮定できるのはなぜか？
意味が良く分らなかったのですが、k=0の場合について考えてみると、証明の糸口を見つけやすいかも。

お礼

なるほど、と納得のいく素晴らしいご回答をいただきありがとうございました。

是非とも参考にさせていただきます。

ありがとうございました。