代数学の、多項式の問題を教えて下さい。

質問

f(X)=X^n+a1・X^(n-1)+a2・x(n-2)+・・・+an∈Z[x]を、最高次の係数が1の整数係数のn次多項式とする。

(1)Aが有理数でf(A)=0を満たす場合、Aは整数である事を示しなさい
(2)Aが整数でf(A)=0を満たす場合、Aはanの約数である事を示しなさい。
(3)aは整数でa≠0,2であるとする。X^3-aX-1はQ[X]の既約多項式である事を示しなさい。
という問題です。
困っています。
分かる方、お願いいたします

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

ヒント：
(1)
ある整数q,rがあって、qとrは互いに素、r≠0で、A=q/rとおける。f(q/r) = 0から、(r^(n-1)) * f(q/r) = 0。整理して、(q^n) / r が整数となることを示す。ここでqとrは互いに素とおいたことに注意。

(2)
因数定理。f(X)はx-Aを因子としてもつ。f(x) = (x-A) Q(x) （Q(x)はある多項式）とおいた時、定数項を比較すれば良い。

(3)
X^3-aX-1が可約なら、必ず一次式の因子をもつ。X^3-aX-1がmonic（最高次の係数が1）だから、その一次式もmonicである（最高次の係数を比較する）。そこで(2)を適用する。

回答No.2

tmpname

(3)間違えた
X^3-aX-1が可約なら、必ず一次式の因子をもつ。その一次式は、monicにとれる。それをx-Aとしたとき、(1)(2)を順に適用する。