代数の体について

質問

次のＱ上の多項式の解を求めよ。
また、最小分解体Ｋの拡大次数[Ｋ：Ｑ]を求めよ。
但しＱは有理数全体の集合を表す。

(1) x^3 + 3x + 1
(2) x^3 - 3x + 1
(3) x^3 + x^2 - 2x - 1

以上です。
解を求めることはできるのですが、最小分解体の求め方がよくわからないのです。
どなたかわかる方、ご教示下さい。宜しくお願いします。

回答No.11

guuman

その2時方程式の根をβとしたとき
βをαで洗わせ

補足

β = {-α ± √(3(α^2 + 4))・i}/2
となりました。

回答No.10

guuman

（１）式を（x-α）で割り算して
αで表わされるQ（α）上の２次方程式を作成せよ

補足

x^2 + αx + α^2 + 3 = 0
となりました。

回答No.9

guuman

α＾２はその集合に含まれているのか

補足

あっ、もしかしたら私は間違えていたかもしれません。
含まれていないと思いますので、１とαとα＾２を基底にとるとして、
３次拡大ですかね。

回答No.8

guuman

それぞれについて無理数根を１つ追加してできる体
はQの何次拡大か理由とともに書け

補足

αを無理数とすると、Ｑに無理数を１つ追加してできる体Ｑ(α)は
Ｑ(α)＝{a + bα｜a,b∈Ｑ} 書ける。
１とαを基底にとると、Ｑ(α)の元を全て一意的に表せるので
Ｑ(α)はＱの２次拡大である。

と思います。

回答No.7

guuman

高校で習った極値、変曲点の解析をおこない
それぞれ関数の形を紙に書いてみろ
そして自分の結果を確信できるか確認せよ
特にx軸との交点と原点に注意して
実数根については根の正負もかけ

補足

はい！
計算してみましたが、やはりＲ上１つ、Ｃ上２つだと思います。
実数根の正負については
(1)が負、(2)が正、(3)が正です。

回答No.6

guuman

（３）の変形した式を整数係数の式に変形して示せ
3式とも有理数根を持たないことが分かったがそれではどんな根を持つか書け

補足

はい。

(3)式→27x^3 - 63x - 7
です。

また、３式とも根はＲ上に１つ、Ｃ上に２つだと思います。
（Ｒ：実数全体の集合　Ｃ：複素数全体の集合）

回答No.5

guuman

(3)を２次項がないように変更してそれを補足にかけ

補足

はい、やってみました！

x→x - 1/3 とすると
(3)式→x^3 - (7/3)x - 7/27

となりました。

回答No.4

guuman

この３式がいずれもQ上で既約かどうかをそれぞれ示せ
アイゼンシュタインを使えるものは使って
そうでないものはその他の方法でやれ

補足

はい、やってみました！

先日guumanさんに教えて頂いた方法を使いました。
x→x+2 とすると、(1)～(3)の全てにアイゼンシュタインの定理が適用できました。
なので、３つともＱ上で既約だと思います。

この事実を私が質問している問題にどう使うのか、私にはまだ全然見えてこないのですが、
この後どのようなことをすれば、答えが導けるのでしょうか？

回答No.3

guuman

それぞれすべての根をだしてみい

だいたい質問を３つもまとめてだすものではない
１つについて質問してみて
その回答をみてほかの２つができるかどうか一生懸命
自分の頭で考えて出来ないものについてだけ
再度新たに質問するのがすじだ
自分のできた内容や自分の考えてきたところを提示しないのも
誠実さが足りない
まとめて出す質問は削除対象だ

補足

先日から、guumanさんにはお世話になりっぱなしで、本当に感謝しております。こちらの質問にも、ご回答を頂けるなんて、有難いです。
私、一生懸命頑張りますので、是非お付き合い下さい。

とりあえず、それぞれを因数分解すること、
つまり、多項式＝０の解を導くまでは何とかできます。

(1)については、ω を１の３乗根としたとき、
x = ((√5 - 1)/2)^1/3 - ((√5 + 1)/2)^1/3
ω・((√5 - 1)/2)^1/3 - ω^2・((√5 + 1)/2)^1/3
ω^2・((√5 - 1)/2)^1/3 - ω・((√5 + 1)/2)^1/3

(2)についても、同様にω を１の３乗根としたとき、
x = ((√3i - 1)/2)^1/3 - ((√3i + 1)/2)^1/3
ω・((√3i - 1)/2)^1/3 - ω^2・((√3i + 1)/2)^1/3
ω^2・((√3i - 1)/2)^1/3 - ω・((√3i + 1)/2)^1/3

以上が、多項式＝０としたときの方程式の解です。
（i は虚数単位です）
しかし、ここから先の最小分解体や拡大次数が求められないんです。

(3)については、解がかなり複雑になってしまうので、
（私の計算の仕方が下手なだけかもしれませんが…）
解くには解いたのですが、ここに解を記述するのが困難です。すいません。

この後の、最小分解体や拡大次数の導出の仕方を
ご教示頂けると有難いです。どうか宜しくお願いします。

回答No.2

Willyt

>最小分解体や拡大次数の求め方が、まだよくわかりません。

　因数が一つでも見付かれば、残りは二次式以下ですから、根の公式が使えるでしょ？(^_-)