締切済み

可換代数について

2009/10/12 12:06

体k上の一変数多項式環k[x]の商体k(x)が、k上有限生成代数でない理由を教えてください。

cloverlove
お礼率11% (3/27)

数学・算数
回答数1
ありがとう数0

みんなの回答 （1）
専門家の回答

みんなの回答

koko_u_u
ベストアンサー率18% (216/1139)

2009/10/12 13:22 回答No.1

理由が知りたいんですね。まずはその証明を補足にどうぞ。

関連するQ&A

代数学の問題です。

代数学の問題です。「今、体K上の多項式環K[X]を考える。K[X]の任意のイデアルは単項イデアルになることを示せ」至急よろしくお願いします。
代数学について

代数学の定理で以下のようなものがありました． αを体Kの拡大体の元とする．このとき， αがK上代数的である⇔K[α]=K(α) ただし， K[X]：K係数のXについての多項式全体の集合（多項式環） K(α)：K係数のXについての有理式全体の集合（有理関数体）です．この証明ですが，画像のように書いてあります．はじめて見た記号で分かりません．（本当はこの記号ではないかもしれませんが，こんな感じの形をしています）これが分からなくて困っています．よろしくお願いします．
代数

大分前にやった代数を復習しているのですが、「E／Fを体の拡大とする。（Eは代数的閉体とする。）　K⊂EをF上代数的な元全体とする。（KはFの代数的拡大）　このとき、a∈EがK上代数的ならば、F上でも代数的であるか？」ということなのですが、 aを零点に持つK係数多項式をどうにかしてF係数多項式に持っていくのかとか考えたのですが、わからなくなってしまいました。 Kの元はF係数多項式の零点にはなるが、Fの元の積や和から作れるわけでもないしとか。 Eが代数的閉体であることを使うのかも分かりません。詳しい方いらしたらよろしくお願いします。
体変数多項式環既約多項式

体 K 上の 1 変数多項式環を K[X] とし，X^3- 2 によって生成される K[X] のイデアルを I とし、剰余環 A = K[X]/I について。 K が有理数体 Q であるとき，X^3- 2 は Q[X] の既約多項式であることとA が体であることをどのように示していけばいいでしょうか。
代数学（体論）の問題なのですが。

(1)ＥがＫの有限拡大ならば、ＥはＫの代数拡大である。 (2)ＥがＫの拡大体で、a1,a2,・・・an∈Ｅ　がＫ上で代数的ならば、Ｋ（a1,a2,・・・an）はＫの有限拡大である。 (3)　(2)よりＫ（a1,a2,・・・an）＝Ｋ[a1,a2,・・・an]である。上の三つの証明なんですけど、自分ではなんとなく理解できているんですけど、人に説明するときにうまくできそうにありません。証明過程なども教えていただければありがたいです。
代数の環の分野の問題です

代数の環の分野の問題です可換環Rが与えられたとき文字Xを不定元とする R係数の多項式は p(X)=a_nX^n＋a_n-1X^n-1＋…＋a_1X＋a_0 =Σ(i=0からｎ)a_iX^i (a_i∈R）なる形のものです Xを不定元とするR係数の多項式全体の集合は可換環をなしこの可換環をR[X} とします R[X_1X_2,…,X_n]=(R[X_1X_2,…,X_n-1])[X_n] が定義され R[X_1X_2,…,X_n]をＲ上のｎ変数多項式環、その元をＲ係数ｎ変数多項式というときｎ変数多項式は整理すると Σ_(0≦i_1,i_2,…,i_n) a_i_1i_2…i_nX_1^i_1X_2^i_2…X_n^i_n (a_i_1…a_i_n∈Ｒで和は有限和）とかけることを示したいです教えてください文章分かりにくくてごめんなさい
代数学

代数学で分からない問題が・・・。（１）有限環Ｚ/nＺの単元全体(Ｚ/nＺ)*の成す群の位数はオイラー関数φ(n)と一致することを示せ。ただし、φ(n)=#{1≦x≦n|(x,n)=1}とする。（２）有限環Ｚ/nＺが体であるための必要十分条件はnが　　　素数であることを示せ。なんですが、わかりません。一つでもいいので教えてください。よろしくお願いしますm(__)m
代数学

Kを標数0の体とし、(X^n)−1をK[X](Kの1変数多項式環)の元とします。このとき、 (X^n)−1=0の解ζで、 (X^n)−1=(X−1)(X−ζ)…(X−ζ^(n−1)) となるζが存在することを証明して欲しいです。一応自分なりに、方程式(X^n)−1=0は重解を持たないから(もし重解なら一回微分nX^(n−1)=0の解である事を考えて示せた)、 (X^n)−1=(X−1)(X−a[1])…(X−a[n−1]) とかけ、a[1]≠1で、a[1]^n=1より、巡回群〈a[1]〉の位数はn以下である事はわかりました。〈a[1]〉の位数がnであることが示せたら証明出来た事になると思うのですが、それが示せません。
方程式の解

複素数が代数閉体であることは有名ですが、複素数の真部分集合で代数閉体であるようなものは存在するのでしょうか？元々の疑問はまず有理数の集合をQ(0)とする。 Q(0)係数１変数多項式の解全体の集合をQ(1)とする。次にQ(1)係数１変数多項式の解全体の集合をQ(2)とする。 … この操作をずっと続けたときの結果が知りたいんです。結果というのは１）有限回の操作で複素数に一致する。２）有限回の操作で止まるが複素数には一致しない。３）有限回で終わらない。（極限でどうなるのかも興味があります）のどれかと言うことです。最初のでも二個目でも結果をご存知の方、何かしらのアイデアが浮かんだ方がいらっしゃいましたらぜひ教えてください。
代数学の質問です

K,K'を体、σ:K→K'を環同型写像とします。K上の多項式環K[X]の元f(X)の最小分解体をLとします。K'[X]の元fσ(X)のK'上の最小分解体をL'とすると、σは環同型写像τ:L→L'に拡張される、つまり、制限写像τ|K=σとなる事を示して欲しいです。ただし、f(X)=ΣaiX^i(aiはKの元)に対して、 fσ(X)=Σσ(ai)X^i(σ(ai)はKの元)です。
代数学の証明問題がわかりません。

Fを標数p>0で元の数q個の有限体とし、その素体をFоとする。 Fの元はちょうどFо係数の多項式　X~q－X＝０　の根全体となっている。の証明がわかりません。教えていただけないでしょうか。
代数を可換図式によって定義する方法について

体K上のベクトル空間Rに、何らかの積を定義して、Rが環になるときに、RをK上の代数と言うと思いますが、それらを可換図式を上手く使って定義する仕方がよくわかりません。このように書くと、大変抽象的な質問になってしまいますが、具体的には、環Rと写像μ：Rテンソル積R→R　と写像η：K→Rを持ってきたときに、一般的な可換図式を用いた定義の中で、 (1)テンソル積が何故出てくるのか？ (2)スカラー積における単位元の定義についても図式で説明されることがあるが、その部分がよくわからない。 (3)写像ηが何を意味しているのかよくわからない。(上では、きちんとηが定義されていないので、そもそもこれは質問になっていないのかもしれませんが。。) このような事柄について、簡単な解説・コメントなど、または、わかりやすく解説したHPなどがあれば、教えて頂ければ有り難いです。
有限体上で代数多様体の無限遠点の解の求め方

久賀道郎氏の数セミの記事を読んでいるのですが、有限体上で代数多様体の無限遠点での解の求め方を教えていただけませんでしょうか。例えば、 (1)x有限体F_7上で　x＾4-20x^3+56x^2-44x-y^2=0 の無限遠点の解は2個と書いていますが、どう求めるのでしょうか？射影的にして、x＾4-20x^3z+56x^2z＾2-44xz^3-y^2z^2=0で、z＝0が無限遠点になると思うのですが、(x＝0,y=1),(x=0,y=2), など6個解があるように思うのですが？ (2)有限体F_7上で　x＾3+y^3=2 の無限遠点の数は１個と書いていますが、2個のように思うにですが。 (3)有限体F_7上で　y^2+y=x^3+x^2 点の数は１個と書いていますが,もっと有りそうに思うのですが。
代数学

こんにちは。以前もこちらで質問させていただきました。とても参考になる意見をいただき嬉しかったです。今回の質問は「Ｋを体とする。Ｋ｛ｘ｝の既約多項式は無限に多く存在するか？するなら証明せよ」です。素数が無限に多く存在することを証明するというのがヒントらしいのですが、どう解答すればよいのでしょうか？素数が無限である証明はできたのですが。。できればかなり噛み砕いておしえていただければと思います。よろしくお願いします。
代数の問題についてです。

以下の代数の問題について教えてください１．Ｑ（√２、√３、√５）＝Ｑ（√２+√３+√５）となることを示せ。２．[Ｑ（√２、√３、√５）: Ｑ]をもとめよ３．√２+√３+√５のＱ上の既約多項式（最小多項式）を求めよ４．ωをｘ＾２＋ｘ＋１の根としたときＱ（３√２（以下、これは２の３乗根）、ω）の自己同型写像であって３√２とωを入れ替えるものが存在するか？５．Ｆ⊂Ｂ⊂Ｅ:体の塔、Ｂ: ｆ（ｘ）∈Ｆ[x]のＦ上の分解体、Ｅ: ｇ（ｘ）∈Ｆ[x]のＦ上の分解体とする。このとき、写像Ψ : Gal(E/F) → Gal(B/F) ＜σ → σ｜B＞は全射であることを示せ。
代数の既約多項式の問題です。

代数の既約多項式の問題です。 a_n(x^n)＋a_n-1(x^n-1)～＋a_2(x^2)＋a_1(x)＋a_0=0 （a_0,a_1,・・・a_n∈Q:有理数）が既約とする。この方程式の解がn次未満のQ係数多項式の解とはならない事を示せ。既約多項式:これ以上約せない多項式わかる方いましたらよろしくお願いいたします。
ガロア拡大

体Kの単純代数拡大体　Ｌ＝Ｋ(γ) f(x)：元γのＫ上の最小多項式 n=deg(f) G=Gal(L/K) M=L^{G}(固定体) g(x)=Π(x-σ(γ)) σ∈Ｇの時、g(x)∈M[x]を示して、[L:M]=|G| を示したいです。 g(x)∈M[x]であることとはつまり、 σ(γ)∈M(=L^{G}) であることを示せばいいと思うのですが σはK上同型写像でありますが、γはＫ上にないので σ(γ)=γ であることをいえません。どのように示せばよいのでしょうか？
代数学

Kを体とし、MをKの有限次ガロア拡大体、LをMの有限次ガロア拡大体とするとき、 LはKの有限次ガロア拡大体であることを証明して欲しいです。よろしくお願いします。
代数的独立性の証明

ファンデルモンドによる円分多項式の解法を考えていて途中でつっかえているところがあるのでよろしくお願いします。 pを素数として、ωを1の非自明なp乗根のひとつとします。またx_1～x_{p-1}までは1のp-1乗根の整数係数多項式とします。直感的にはωはx_1～x_{p-1}たちとは代数的独立なのは自明です。このとき、 x_1ω+x_2ω^2+x_3ω^3+…+x_{p-1}ω^{p-1}=0 ⇒x_1=x_2=…=x_{p-1}=0 を証明したいのですが、うまくいっていません。アドバイスお願いします。
代数(algebra)の例

体K上のベクトル空間Rに、何らかの積を定義して、Rが環になるときに、RをK上の代数と言うと思いますが、初心者のため、例を探しています。例えば、R^3(3次元空間)上のベクトル全体の集合にK=R(実数)としてスカラー積を定義したベクトル空間を考えたときに、そのベクトル空間上に外積として×を定義すれば、それは代数になりますか？また、積構造として、内積・を定義したときは、代数にはならないですか？よくわかっていないので、教えて頂ければ大変有り難く思います。

可換代数について

みんなの回答

関連するQ&A

代数学の問題です。

代数学について

代数

体変数多項式環既約多項式

代数学（体論）の問題なのですが。

代数の環の分野の問題です

代数学

代数学

方程式の解

代数学の質問です

代数学の証明問題がわかりません。

代数を可換図式によって定義する方法について

有限体上で代数多様体の無限遠点の解の求め方

代数学

代数の問題についてです。

代数の既約多項式の問題です。

ガロア拡大

代数学

代数的独立性の証明

代数(algebra)の例

注目のQ&A

カテゴリ

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

専門家に質問してみよう

可換代数について

みんなの回答

関連するQ&A

代数学の問題です。

代数学について

代数

体 変数多項式環 既約多項式

代数学（体論）の問題なのですが。

代数の環の分野の問題です

代数学

代数学

方程式の解

代数学の質問です

代数学の証明問題がわかりません。

代数を可換図式によって定義する方法について

有限体上で代数多様体の無限遠点の解の求め方

代数学

代数の問題についてです。

代数の既約多項式の問題です。

ガロア拡大

代数学

代数的独立性の証明

代数(algebra)の例

注目のQ&A

カテゴリ

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

専門家に質問してみよう

体変数多項式環既約多項式