代数学の問題です。

質問

代数学の問題です。
「今、体K上の多項式環K[X]を考える。K[X]の任意のイデアルは単項イデアルになることを示せ」

至急よろしくお願いします。

回答No.2

yoikagari

Kを体とするとき、K[X]が単項イデアル整域であることの証明

証明ここから

K[X]の(0)ではないイデアルIを任意にとる。
Iの元のうち、次数が最小のものをf(x)をとる。
I=(f(x) )となることを示す。

イデアルの定義よりI⊇(f(x) )は明らかである
よって、I⊆(f(x) )を示す。
Iの元h(x)を任意に取る
h(x)をf(x)で割り、商をq(x)、余りをr(x)とする
h(x)=f(x)q(x)+r(x))，deg{r(x)}＜deg{f(x)}
ここで、r(x)≠0と仮定する
r(x)=h(x)-f(x)q(x)∈I，0≦deg{r(x)}＜deg{f(x)}だから、
r(x)は、f(x)より次数が小さなIの要素となる。
これは、Iの次数が最小の元がf(x)であることに反する。
よって、r(x)=0
したがってh(x)はf(x)で割り切れるからh(x)∈(f(x) )
すなわち、I⊆(f(x) )がいえた。

以上よりI＝(f(x) )がいえ、K[X]が単項イデアル整域であることがいえた。

証明ここまで

回答No.1

Anti-Giants

(1) 体K上の多項式環K[X]はユークリッド整域

(2) ユークリッド整域は単項イデアル環

の二つを示せばよい。
どちらも代数学の基本的な定理。