再 数学 無限級数

質問

和を求めよ。
１　＋　２／２　＋　３／４　＋　４／８　＋　５／１６　・・・

というのが問題です。
問題集のヒントによると、
部分和Ｓｎは、Ｓｎ－ｒＳｎとして求めるみたいです。（ｒは公比）
よろしくお願いいたします

回答No.1

gtmrk · ベストアンサー

こんばんは
まず、

　(1)　　Sn = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + …

とおくと、これを 1/2 倍したものは

　(2)　　Sn/2 = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 …

となります。(1)式から(2)式を引いてガシガシ計算を進めていけば、

　(3)　　Sn - Sn/2 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …
　　　　　　　　　　 = lim Σ{(1/2)^(k-1)}
　　　　　　　　　　　（添字: k = 1→n, 極限: n→∞）
　　　　　　　　　　 = lim {1 - (1/2)^n}/(1/2)
　　　　　　　　　　 = lim {2 - 2*(1/2)^n}
　　　　　　　　　　 = 2

　　　　　　⇔ Sn/2 = 2　（左辺を普通に計算）
　　　　　　⇔ Sn = 4

です。

お礼

ＳｎからＳｎ/２を引くとき、Ｓｎの初項の１からＳｎ/２の初項の１/２を引いてしまい、Sn - Sn/2 の初稿が１にならずにずっと悶々としてました。
ひとつずらせばよかったんですね。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#185374

すでに正解が出ていますが、この級数の意味が分かりますか？
以下のように変形するとわかりやすいかもしれません。ただし、このような式変形が許されるかどうか（特に高校で）について私は知りませんので、あくまでも「あやしい参考」とするにとどめてください。

S = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + ・・・
　= 1 + 2(1/2) + 3(1/4) + 4(1/8) + ・・・
　= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ・・・
　　　+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + ・・・
　　　　　　　+ 1/4 + 1/8 + ・・・
　　　　　　　　　　　+ 1/8 + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　+ ・・・
　= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ・・・
　　　+ (1/2)(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ・・・ )
　　　　　　　+ (1/4)(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ・・・ )
　　　　　　　　　　　+ (1/8)(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ・・・ )
　　　　　　　　　　　　　　　+ ・・・
　= (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ・・・ )(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ・・・ )
　= (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ・・・ )^2
　= 2^2
　= 4