極限値

質問

極限値を求めよ。
１。１／（１・３）＋１／（３・５）＋・・・＋１／｛（２ｎ－１）（２ｎ＋１）｝
２。１／（１・３）＋１／（２・４）＋・・・＋１／｛ｎ（ｎ＋２）｝
３。ｎ√（ｎ）
４。ｎ√（１／（ｎ！））
いろいろ調べたのですが，
どこから手をつけていいかも分からないので教えてください。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足の質問について

>１，２番は，何となく分かってきました。
>この式の変形って自分で覚えておくか気づくしかないんですかね…
そうです。連続する数の積(n(n+1)とかn(n+2)など）の逆数の和を見たら、部分分数に分けてやるのが定石です。部分分数の項は前後で打ち消しあって、最初の項と最後の項だけが残ります。

>３，４番は，まだ，あまり分からないのですが，定理を使うのですか？

定理を使って簡単に出来るなら,定理を使った方が良いでしょう。
３ではロピタルの定理を使います。
どうしても解けない場合は、xまたは1/xのべき乗に級数展開してゼロに収束する高次項をネグレクトしてやれば極限値を求めることができます。これは最後の手段です。
少し研究してみて下さい。
こうすれば解けると言う例を沢山経験すればこの種の問題は難なく解けるようになるでしょう。解答付き演習問題をできるだけ沢山こなすことですね。

回答No.2

info22_

1。
与式=(1/2)(1-1/3)+(1/2)(1/3-1/5)+ … +(1/2){1/(2n-1) -1/(2n+1)}
=(1/2){1-1/3+1/3-1/5+1/5- … +1/(2n-1)+1/(2n-1) -1/(2n+1)}
=(1/2){1 -1/(2n+1)}
　n→∞とすると 与式→1/2

2。
与式=(1/2){(1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+(1/4-1/6)+ … +((1/n -1/(n+2))}
=(1/2){1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)}=(1/4){3-2(2n+3)/((n+1)(n+2))}
=(1/4)n(3n+5)/{(n+1)(n+2)}
　n→∞とすると 与式=(1/4)(3+(5/n))/{(1+(1/n)(1+(2/n))}→3/4

3。
nのn乗根ですね。
そうなら
lim[n→∞] [n]√n=lim[n→∞] n^(1/n)
=lim[n→∞] e^{log(n)/n}
=lim[n→∞] e^{(1/n)/1} (∵ロピタルの定理より
=e^0=1

4。
(1/(n!)のn乗根ですね。
そうなら
L=lim[n→∞] [n]√(1/n!)=lim[n→∞] (1/n!)^(1/n)
=lim[n→∞] e^{(1/n)log(1/n!)}
=lim[n→∞] e^{(-1/n)log(n!)}
=lim[n→∞] e^[-(1/n)[logn+log(n-1)+ … +log2+log1}]
=0
[参考URL]
http://www.wolframalpha.com/
詳細は上記URLで 「limit(log(n!)/n,n,infinity)」と入力して見てください

補足

ありがとうございます。１，２番は，何となく分かってきました。
この式の変形って自分で覚えておくか気づくしかないんですかね…
３，４番は，まだ，あまり分からないのですが，定理を使うのですか？

回答No.1

rnakamra

1,2は第n項までの和を実際に計算するとよいでしょう。
第n項を部分分数分解すると簡単に計算できます。

1.
1/{(2n-1)(2n+1)}=(1/2){1/(2n-1)-1/(2n+1)}

2.
1/{n(n+2)}=(1/2){1/n-1/(n+2)}

とそれぞれ部分分数にわけることができます。これを第1項から足していくと隣り合う項が打ち消しあい、最初と最後の2校だけが残る形になります。

3.これはnを大きくしていけばいくらでも大きくなりますね。

4.これはn>4であればn!>n(n+1)(n+2)であることから
n>4において　n√(1/n!)<n/√{n(n+1)(n+2)} であることがわかります。分母・分子をn=(√n)^2で割ってみるとわかると思います。