極限値の求め方、教えて下さい。

質問

数列 a(n) = n*p^n (p<1)の極限値（x->∞）と、その求め方を教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>極限値（x->∞）
これは
極限値（n->∞）
の間違いですね？

そうなら
0<p<1として
p^n=t(>0)とおくと n=log(t)/log(p)
n→∞のとき t→0+
L=lim(n→∞) n*p^n=lim(t→0+) t*log(t)/log(p)
=(1/log(p))lim(t→0+) log(t)/(1/t)
∞/∞型なのでロピタルの定理が適用できて
L=(1/log(p))lim(t→0+) (1/t)/(-1/t^2)
=(1/log(p))lim(t→0+) (-t)
=0
と極限値が求まります。

お礼

とても分かりやすいご説明を、ありがとうございました。よく分かりました。
ロピタルの定理まで使わないといけないとは…ハイレベルでした。
タイプミス、失礼しました。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

nがmからm+1に増える時
a(n)は(m+1)/m X p倍になるので
pの絶対値が1未満なら、mが十分大きければ
どこかでaの絶対値は減少に転じます。
従って極限値は0

pく-1 では負に発散します。

お礼

ありがとうございました。

>mが十分大きければどこかでaの絶対値は減少に転じます。
感覚的にはそうなんだろうなって思えるのですが、はっきり「そうだ！」とは言い切れない気持ちです。
いつか時間ができたら、具体的な数値を試してたりして納得しようと思います。

>従って極限値は0
これは、減少するからといって極限値はゼロと決めつけてしまっていいのかなというモヤモヤがあります。
今後の課題にします。