極限値の求め方がよくわかりません。

質問

極限値の求め方がよくわかりません。

lim[log{2^(1/2) * 3^(1/3) * 4^(1/4) *・・・・* n^(1/n)}]　／ｎ　　
n→∞　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　です

分子のlog{2^(1/2) * 3^(1/3) * 4^(1/4) *・・・・* n^(1/n)}　をどう処理するか？

分子が積になっているので、わかりません。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

分子は次のようにΣの式に変形できます。

　log{2^(1/2) * 3^(1/3) * 4^(1/4) *・・・・* n^(1/n)}
=log(2)/2+log(3)/3+log(4)/4+・・・+log(n)/n
=Σ[k=2→n] log(k)/k

　ここで、f(x)=log(x)/x　としますと、f'(x)={1-log(x)}/x^2 となることから　x<eでf(x)は単調増加、e<xでf(x)は単調減少であることが分かります。

　このことから区分求積法を使って次の関係が得られます。
　　0 < {Σ[k=2→n] log(k)/k}/n < {log(2)/2 + log(3)/3 + ∫[3→n] log(x)/x dx}/n　・・・★

　さて、上の不等式★の左辺の積分は次のようになります。
　　∫[3→n] log(x)/x dx ={log(n)^2-log(3)^2}/2

　従って、不等式の左辺は次のように表されます。
　　{log(2)/2 + log(3)/3 + {log(n)^2^log(3)^2}/2}/n

　ここでｎ→∞における極限値を求めますと、
　　{log(2)/2 + log(3)/3 + {log(n)^2-log(3)^2}/2}/n
　→log(n)^2/(2n)
　→log(n)/n　　　（∵ロピタルの定理）
　→1/n　　　　　　（∵ロピタルの定理）
　→0

　従って　ｎ→∞において　不等式★ははさみうちの原理から次のようになります。
　　０≦ lim[n→∞] {Σ[k=2→n] log(k)/k}/n ≦０
　∴lim[n→∞] {Σ[k=2→n] log(k)/k}/n＝０

回答No.3

noname#121794

知っているかいないか分からんが、lim(n→∞)an=0なら(a1＋・・・＋an)/n→0が分かっていれば
この問題は楽々といける。
(証明はε-N論法を使って示せる。大体はその章に載ってあるので参考にしたらよい)
まず分子はlog1＋(log2)/2＋・・・＋(logn)/nである。
n→∞で(logn)/n→0より結局{log1＋(log2)/2＋・・・＋(logn)/n}/nはn→∞とすると0。

回答No.1

alice_44

積は、分子じゃなく、log の中身でしょう？
対数法則を使えば、分子を Σ へ変形できますね。
結局、lim の処理は、区分求積法ですよ。