極限の問題

質問

極限の問題でわからない問題があります。
答えと解説お願いします。

１、次の極限を求めよ

　I{(1+2^n)^1/n｝

　II｛n^n-1/(n-1)^n}

　III{a^n/n!} (a>0)

よろしくお願いします。

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

I
※limはlim_n→∞とする。

y=(1+2^n)^1/n
と置く。両辺に対数をとり、
lny={ln(1+2^n)}/n

∞/∞型であるので、ロピタルの定理より
lim lny
=lim {ln(1+2^n)}/n
=lim {ln2*2^n}/(1+2^n)
=lim ln2/{1+2^(-n)}
=ln2

したがって、y→2(n→∞)

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

II
n^n-1/(n-1)^n
=(1/n)*[n/(n-1)]^n

n/(n-1)→1　(n→∞)より、
(1/n)*[n/(n-1)]^n → 0　(n→∞)

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

IIIのみの回答で失礼します。

n0>aとすると、
a^n/n!=(a/1)*(a/2)*(a/3)*…*(a/n0)*…*(a/n)≤a^n0/n0!*(a/n0)^(n-n0) →　0　(n→∞)