極限

質問

a[1]=1
a[n+1]=√(a[n]＋1)
a[n]の極限値を求めよ

これはどう解くのか教えてください

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

収束するなら、十分大きなｎに対し、a[n]＝a[n＋1]。

a[n]＝√(a[n]＋1)
→a[n]^2－a[n]－1＝0

a[n]＝(1±√5)/2
マイナスはないので、
a[n]＝(1＋√5)/2

黄金比です。

補足

変な質問ですが、収束すると仮定すると値が出るが、実はこの値はたまたま出てきた何の意味もない数字で実は収束しない数列ということはないのでしょうか？

回答No.5

alice_44

あ、ほんとだ。

回答No.4

Tacosan

| a[n] - α | ≦ | a[1] - α | / 2^n の由来はちゃんと #3 に書いてありますよ～. じっと読み直してみてください... あれ? 微妙におかしぃ. 2^(n-1) じゃないと....

補足

| a[n] - α | / { √(a[n]＋1) + √(α+1) } ≦ | a[n] - α | / 2
から導かれるんですよね

すみません、全く分からないので教えてください

回答No.3

alice_44

＞ 実はこの値はたまたま出てきた何の意味もない数字で
＞ 実は収束しない数列ということはないのでしょうか？

それを確認する必要があります。
というか、その部分が考察の本体です。

α ＝ (1＋√5)/2 と置くと、
α = √(α+1) であるため
| a[n+1] - α | = | √(a[n]＋1) - √(α+1) |
= | a[n] - α | / { √(a[n]＋1) + √(α+1) } ; いわゆる「分子の有理化」をした。
≦ | a[n] - α | / 2 ; a[n]≧0, α≧0 だから。
と変形でき、 | a[n] - α | ≦ | a[1] - α | / 2^n → 0 となります。

先に α を求めるのは、a[n] → α を直接示すよりも
a[n] - α → 0 を示すほうが簡単な場合が多いからです。
ちょっとしたコツですね。

補足

確認する方法があったんですね
ありがとうございました
質問なのですが、
| a[n] - α | ≦ | a[1] - α | / 2^n
というのはどこから出てきたのでしょうか？

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

すみません、a[n]ではなく収束値αで表した方がよかったですね。

何も意味を持たないというのは、どういうことを言ってますか？
仮に、a[n＋1]＝a[n]^2＋1とし、収束値をαとすると、
α＝α^2＋1
α^2－α＋1＝0
α＝(1±√(－3))/2
↑は意味をなさない。数列は発散するから。

ちなみに、質問文の数列はウィキペディアの黄金比を検索してもらえば、黄金比の表し方を数列に直しているだけで、収束することがわかります。

お礼

何の意味もなさないというのが分かりにくかったですかね すみません
Wikipediaを見てみます
ありがとうございました