Γ関数の和は、どうやって計算するのでしょうか？

質問

http://okwave.jp/qa/q7052669.html　の続きなのですが、、、

F(k)＝∫[-∞、+∞]　x^{ik}exp(-ax) - x^{ik+1}exp(-ax) + x^{ik+2}exp(-ax) 　-、+、、、dx

の各項は、Γ関数　と思います。
Γ関数の和は、どうやって計算したらいいかわかりません。

アドバイス、頂ければ幸いと存じます。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

話は，それますが，morimot703 さんの前質問：

「フーリエ計算の問題が難しすぎてわかりません」
http://okwave.jp/qa/q7052669.html

で，ご質問の関数 Ｆ について，念のため，Ｗｅｂ上のソフトで，不定積分 Ｆ を計算させてみました．

F=int((exp(ibx))/(3-exp(ax)))dx

を，このまま，そっくり下記の Wolfram|Alpha Computational Knowledge Engine へ入力して，〓 をクリックすると，積分の解が得られます．

ただし，b＝k0－k としてあります．なお，int は積分の意味です．

Wolfram|Alpha Computational Knowledge Engine
http://www.wolframalpha.com/

その結果，やはり Ｆ は超幾何関数です．下記のような結果が得られます．

---------------------------------------------------
Copyable plaintext:
F = -(i e^(i b x) 2F1(1, (i b)/a, (i b)/a + 1, e^(a x)/3))/(3 b)

Mathematica plaintext output:
F == ((-I/3) E^(I b x) Hypergeometric 2F1[1, (I b)/a, 1 + (I b)/a, E^(a x)/3])/b
---------------------------------------------------

Ｗｅｂ上の計算ソフトを使うのは邪道かも知れませんが，試されてみては如何でしょうか．

お礼

お教え頂き、ありがとうございます。

実は、僕もやっていたのですが、
TimeOut　になったので、あきらめていたのです。
たぶん、WolfromAlph のサーバの負荷が高いときに重なったのだと思います。
これから、Hypergeometricを調べてみます。
ありがとうございました。

回答No.1

ninoue

次の通り等比級数の和の形になっているようです。
x^{ik}exp(-ax){1 -x +x^2 -x^3 +x^4 ....}

補足

すいません。
それは、逆なんです。
始め、
x^{ik}exp(-ax)/ (1+x) という式があって、
これは、初等的には計算できないと思ったので、
無限級数に分解して、各項を計算して、その和を
出したいのです。