ヘビサイド関数のことで教えてください。

質問

ヘビサイド関数を調べる問題なのですが、分からず、困っています。
問題は、
「f(x)=H(x+1)-H(x-1) :H(x)はヘビサイド関数
(「^」は「ハット」の意味)
f^(ω)
=∫(-∞→∞)[H(x+1)-H(x-1)]exp(-iωx)dx
=∫(-1→1)exp(-iωx)dx
=[exp(-iωx)/-iωx](-1から1まで)
=2sin(ω)/ω

ヘビサイド関数を調べ、上式を確認せよ。」

というもので、ずっと考えているのですが未だに分からずに困っています。助けて下さい。

回答No.1

noname#101087 · ベストアンサー

>ヘビサイド関数を調べ .....

　H(x) = 1　　: x≧0
　　　　= 0　　: x＜0
らしいので、
　f(x) = H(x+1) - H(x-1)
　　　　= 1　　: -1≦x＜+1
　　　　= 0　　: x＜-1, x≧+1
…あとの積分範囲に使われる。

>f^(ω)
>=∫(-∞→∞)[H(x+1)-H(x-1)]exp(-iωx)dx
>=∫(-1→1)exp(-iωx)dx
>=[exp(-iωx)/-iωx](-1から1まで)
>=2sin(ω)/ω

これはラプラス変換の忠実な適用です。
さかのぼるコメントは無際限になるので、ここで止めておきます。
s = jω の表記を使うのがふつうではあります。

　f^(s)
　=∫_<-∞→∞>[H(x+1)-H(x-1)]exp(-sx)dx
　=∫_<-1→1>exp(-sx)dx
　= [exp(-sx)/-s]_<-1→1>
　= 2*sinh(s)/s

お礼

ありがとうございました。おかげで助かりました。