x = 0 で 1になる、無限界連続微分可能関数

質問

http://okwave.jp/qa/q7051004.html
に回答しようとしてふと思ったのですが、

・無限界連続微分可能で、
・f(0)=f'(0)=f''(0)=.... = 1
となる関数は、f(x) = exp(x) に限られるのでしょうか？

少なくとも、x = 0 の近傍では、f(x) は、exp(x) に等しくなる気がします。
だったら、x = 0 から離れたところで、f(x) = exp(x) と、なめらかにつながるような、別の曲線を考えれば、それが反例になりそうですが、どうも、「つないだ」ところで、無限界連続微分可能ではなくなる気もします。

どんなものでしょう？

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

実解析的（すなわちTaylor展開が可能であること）と無限回連続微分可能性は異なりますのでまず近傍でe^xになることは言えません。
f(x)-e^xを考えることにより原点においてすべての階の微分係数が0であるとしてよいです。
原点の近傍で0でない関数ですべての微分係数が消える関数は例えばe^{-1/x}(x>0)、0(x≦0)があります。
もちろんこの他にもたくさんあります。

お礼

ありがとうございました。
こういうアプローチは思いつきませんでした。

条件を満たす、f(x) が存在したときに、g(x) = f(x)-e^x という関数を考えると、g(0) が 0 でなく、かつ、x = 0 の近傍において、 g'(x) = g''(x) = ... = 0 になるものが存在する。
故に、f(x) と e^x は、x = 0 の近傍において、等しくないと。

付け加えれば、実は、解析的であることと無限回連続微分可能性は別の概念であることも、考え方とし、解析的であることの方がきつい条件であることも知ってはいました。
ただ、テーラー展開の式を見ても、無限回連続微分可能であれば、計算自体はできてしまうので、概念的には別のものだけど（もしかしたら実数だから）実際には同じものという間違った解釈をしていました。

この点も、ご指摘いただき、調べなおす事ができました。
確かに、テーラー展開の式は計算できても、それが、f(x) と一致するという保証はないという意味だったのですね。

大分、さび付いています＞自分自身。

回答No.1

hrsmmhr

exp(x)に限られるかどうかは、テイラー展開か何かで考えれば、そうなのではないのかな、と思うのですが…。。。

そのことは証明されたとして、他の点でつなげれるかどうかは
f(0)=f'(0)=f''(0)=...=1を
f(a)=f'(a)=f''(a)=...=e^aを満たす無限回微分可能な関数が
同じ証明方法を使ってf(x)=e^xしかないと言えるはずなので
他の関数で繋げられないことが言えると思います

補足

確かに、 x = 0 の近傍では、exp(x) に限られる（というか、exp(x)に等しくなる）のは言えそうなのですが、それ以外のxについてどう考えるかという点がなかなか。

> f(a)=f'(a)=f''(a)=...=e^aを満たす無限回微分可能な関数が
> 同じ証明方法を使ってf(x)=e^xしかないと言えるはずなので

ですが、実は、x = 0 以外の点では何も言ってないので、この性質は仮定できないです。
考えてみると、無限界連続微分可能という条件は、かなりきつい条件のようなので、言えそうな気はするのですが。