積分の計算

質問

積分I=∫[-∞→∞]exp(-ax^2)dx
の計算を極座標を用いて計算するらしいのですが、

I^2=∬exp｛-a(x^2+y^2)｝dxdy
=exp(-ar^2)rdrdθ

とするまでは分かったのですが、積分範囲がわかりません。
どのようにして考えるのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>I^2=∬exp｛-a(x^2+y^2)｝dxdy
>=exp(-ar^2)rdrdθ

積分記号抜けてませんか？
I^2=∬[D] exp(-ar^2)rdrdθ

a>0の条件ついていませんか？
a≦0であればI^2は＋∞に発散してしまいます。

a>0であるとすれば
D:{(r,θ)|0≦r<∞,0≦θ≦2π}とすれば良いでしょう。
逐次積分で表せば
I^2=∫[0,2π]dθ∫[0,∞]r*exp(-ar^2)dr
=2π∫[0,∞]r*exp(-ar^2)dr

ar^2=uとおけば 2ardr=du
r*exp(-ar^2)dr=(1/(2a))exp(-u)du
より

I^2=(π/a)∫[0,∞] exp(-u)du
この定積分ならできますね！

I^2の定積分の値の正の平方根から最初の積分Iが求まります！

お礼

大変助かりました。質問に足りない部分があったのにも関わらず丁寧な解説ありがとうございます！

回答No.2

alice_44

x = r cosθ, y = r sinθ と極座標変換したのなら、
(-∞<x<∞)∧(-∞<y<∞) に対応する r, θ の範囲は何さ？
座標平面の絵を描いて考えてごらん。

回答No.1

Tacosan

どのような思考過程をへて
「I^2=∬exp｛-a(x^2+y^2)｝dxdy
=exp(-ar^2)rdrdθ

とするまでは分かった」
のですか? 特に, 上では x, y で積分しているはずなのになぜ下では r, θ の積分にかわっているのですか?

積分記号はたらんけど.