フーリエ計算の問題が難しすぎてわかりません

質問

F（ｋ）＝∫[-∞、+∞]　exp(ｉk0x)/｛3 - exp(aｘ) ｝}　exp(-ikx) dx　　　　　　k0、ａは実定数
なんですが、、、

3 - exp(aｘ) を y と置くと、
　　　　　　ｘ＝Log（３－y　）　/ a＝Log｛ （３－y）^(1/a) }
　　　　　　exp(ｉk0x)＝exp{ ｉk0{（３－y）^(1/a)} }
　　　　　　exp(-ik’x)=exp{ -ｉk’{（３－y）^(1/a)} }
　　　　　　dy/dx ＝　-ａ　exp(aｘ)＝　-ａ　exp｛ａ{（３－y）^(1/a)} }
∴　F（ｋ）＝∫[-∞、+∞]　exp{ ｉk0{（３－y）^(1/a)} }exp{ -ｉk’{（３－y）^(1/a)} }（-ａ　exp｛ａ{（３－y）^(1/a)} }）　/ y ｄｙ

＝-ａ∫[-∞、+∞]　exp（　｛ ｉk0-ｉk’＋ａ｝{（３－y）^(1/a)} 　）　/ y ｄｙ
＝-ａ∫[-∞、+∞]　exp（　(｛ ｉk0-ｉk’＋ａ｝^a {（３－y） )^(1/a)} 　）　/ y ｄｙ
＝-ａ∫[-∞、+∞]　exp（　(｛ ｉk0-ｉk’＋ａ｝^a {（３－y） ) )/a)} 　）　/ y ｄｙ
ここから、わかりません。

どなたか　アドバイス頂けませんでしょうか。

回答No.3

rnakamra · ベストアンサー

問題点を一つ

y=3-exp(ax)とした後のyの範囲について
x:-∞～∞　ですがyの範囲は異なります。
aの値で場合分けをしないといけません。
a>0 y:3～-∞
a=0 y=2
a<0 y:-∞～3

exp(ax)>0ですのでyが3以上になることはありえません。

この積分を計算するなら複素平面上で次のような経路での積分を考えたい。
ここではa≠0,k0-k>0とする。k0-k<0の場合は半円の経路を逆周りにとるものとします。
(1)実軸上で-R→(Log3)/a-rの区間で積分
(2)(Log3)/aを中心に半径rの小円を時計回りに半周(Log3)/a-r→(Log3)/a+rの区間で積分
(3)実軸上で(Log3)/a+r→Rの区間で積分
(4)0を中心とした半径Rの大円を反時計回りにR→-Rの区間で積分

この閉じた経路での積分の和=(閉じた経路の内側のすべての特異点の留数の和)×2πi
となりますが、内部の特異点の留数は簡単に計算可能で、R→∞で無限個の特異点が発生しますが、その和は多分収束すると思われます。(留数が等比数列をなすはずなので)

求める積分は、R→∞,r→0としたときの(1)と(3)の和になります。
R→∞としたとき(4)の積分は0に収束します。r→0の時の(2)の積分も有限の値に収束するはずなので(1),(3)の和も収束するはずです。

お礼

助かりました。
その上、問題点の指摘まで頂き、嬉しいかぎりです。
ありがとうございました。

回答No.2

Knotopolog

お礼欄の回答：

＃１です．

始めに与えられた定積分の不定積分

F＝∫exp(ix(k0－k))/(3－exp(ax)) dx

の F は，どうやら，初等関数では表示できないようです．
多分，超幾何関数（hypergeometric function）になる気がします．
かなり，複雑・難解のようです．

一応，超幾何関数を調べてみると何か分かるかも知れません．

お役に立ちませんで申し訳ありません．

補足

いえいえ、ありがとうございます。

分母を、１－ｚ　と置いて、無限級数に展開できませんか？
つまり、1/(1-z) = 1+z+z^2+z^3+、、、

ｙ＝C－Cｚ　と置くと、
F(k)＝-ａ∫[-∞、+∞]　( (３－y）^{ｉ(k0-k)b}　)exp( b{ (3－y)/b^(1/b) }}　）/ y dy
は、
F(k)＝-ａ∫[-∞、+∞]　( (３－C+Cz）^{ｉ(k0-k)b}　)exp( b{ (3－C+CZ)/b^(1/b) }}　）/ C(1-z) dｚ
なので、
C＝３
∴　F(k)＝-ａ/C∫[-∞、+∞]　( (3z）^{ｉ(k0-k)b}　)exp( b{ (3Z)/b^(1/b) }}　）/ (1-z) dｚ

ここで　( (3z）^{ｉ(k0-k)b}　)exp( b{ (3Z)/b^(1/b) }}　）を、f(z)　と書くと、
F(k)＝-ａ/C∫[-∞、+∞]　f(z)｛1+z+z^2+z^3+、、、｝dz

これを、Γ関数の形にすると、（ｘ＝－ｚ　と置く）
F(k)＝ａ/C∫[-∞、+∞]　x^{ik'}exp(-b' x) - x^{ik'+1}exp(-b' x) + x^{ik'+2}exp(-b' x) -、+、、、dx

となりました。
でも、Γ関数の和は、どうやって計算したらいいかわかりません。
アドバイス、頂ければ幸いと存じます。

回答No.1

Knotopolog

計算違いがあります．

＞＞3 - exp(aｘ) を y と置くと、
＞＞　　ｘ＝Log（３－y　）　/ a＝Log｛ （３－y）^(1/a) }
＞＞　　exp(ｉk0x)＝exp{ ｉk0{（３－y）^(1/a)} }
＞＞　　exp(-ik’x)=exp{ -ｉk’{（３－y）^(1/a)} }

正しくは，

exp(aｘ) ＝ 3－y

ｘ＝Log（３－y　）/ a＝Log｛（３－y）^(1/a)}

exp(ｉk0x)＝exp{ｉk0Log｛（３－y）^(1/a)}}

exp(ｉk0x)＝exp{Log｛（３－y）^(ｉk0/a)}}

exp(ｉk0x)＝（３－y）^(ｉk0/a)

です．つまり，

exp(ｉk0x) ＝ e^(ｉk0x) ＝ [e^(x)]^(ｉk0) ＝

＝[e^(Log｛（３－y）^(1/a)})]^(ｉk0) ＝[（３－y）^(1/a)]^(ｉk0) ＝

＝（３－y）^(ｉk0/a)

です．

お礼

ご指摘、ありがとうございます。
とすると、、、
　　　　　　exp(aｘ) ＝ 3－y
　　　　　　exp(ｉk0x)＝（３－y）^(ｉk0/a)
　　　　　　exp(－ｉkx)＝（３－y）^(－ｉk/a)
　　　　　　dy/dx ＝　-ａ　exp(aｘ)＝　-ａ　exp｛ａ{（３－y）^(1/a)} }
∴　F（ｋ）＝∫[-∞、+∞]　{ （３－y）^(ｉk0/a)　}｛　（３－y）^(－ｉk/a) }（-ａ　exp｛ａ{（３－y）^(1/a)} }）　/ y ｄｙ
a= 1/b とおくと、
＝-ａ∫[-∞、+∞]　( (３－y）^{ｉ(k0-k)b}　)exp(　{ (3－y)^ｂ}/b 　）/ y dy
＝-ａ∫[-∞、+∞]　( (３－y）^{ｉ(k0-k)b}　)exp(　{ (3－y)^ｂ}/(b^{1/b}^b)　）/ y dy
＝-ａ∫[-∞、+∞]　( (３－y）^{ｉ(k0-k)b}　)exp( b{ (3－y)/b^(1/b) }}　）/ y dy
これからが　わかりません。
仮に、∫[-∞、+∞]　( (y）^{ｉ(k0-k)b}　)exp( b{ (y)/b^(1/b) }}　）/ y dy
なら、Γ関数なんですが、、、