畳み込み積分をする和の密度関数の問題に困ってます。。。

質問

畳み込み積分をする和の密度関数の問題に困ってます。。。
aを正の定数とする。実数値をとる確率変数X、Yが独立に密度関数
ｆ(x)=ae^(-ax)(x≧0),0(x＜0),
g(y)=(a+1)e^(-(a+1)y)(y≧0),0(y＜0),
に従うとき、その和の密度関数U＝X+Yを求めよ
という問題です。。。
畳み込みの公式にいれてみたのですが、最後まで計算ができない(eが発散してしまいました)

お願いします

回答No.4

gotouikusa · ベストアンサー

ポイントは：
　 　　　 x≧0
　かつ　y=u-x≧0　,
よってxの積分領域は[0,u]　です。

これ以上書くと余計かもしれませんが，結果を計算したのでご参考ください。

別解は，逆フーリエ変換を用いるもので，指数分布の場合，zの積分領域を心配する必要がありません。

私はこれから日本で数理統計を学びたい準留学生です。一緒に頑張りましょう。

お礼

どうもありがとうございました。
すごく丁寧に書いてくださり大変わかりやすかったです。

僕はまだ統計を学んで間もないですが、頑張っていきましょう！

回答No.3

Tacosan

いや, もちろん「y<0 のとき密度関数 g(y) の値が 0」という条件を使うからこそ書いてるんだけど....
U = X+Y の密度関数は
∫f(x)g(u-x)dx (積分範囲は -∞～∞)
で計算できます. しかし, 実際にはこの全範囲で積分する必要はありません. なぜなら, 被積分関数 f(x)g(u-x) が 0 になる (従って除外できる) ところがあるからです.
もちろん x < 0 なら (f(x) = 0 より) 被積分関数は 0 になります. しかし, x ≧ 0 であっても「被積分関数が 0 になる」範囲が存在します. 最初に書いた条件を思い出してください.

お礼

ご丁寧にありがとうございました。
＞＞x ≧ 0 であっても「被積分関数が 0 になる」範囲が存在します
とはx=u-y≧ 0で0≦y≦uということですね。

どうもありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

とりあえず「f1 とか f2 って何? そんなの, 質問文にはないよ」と突っ込んでおきますが, それはさておき:
「x,y≧０のとき」と書かれていますが, y はどこにいますか? そして, 「y<0 のとき密度関数 g(y) の値が 0」という条件は使っていますか?
おっと, 元の文章もおかしいな. 「その和の密度関数U＝X+Yを求めよ」ではなく「その和 U = X+Y の密度関数を求めよ」だな.

補足

失礼いたしました。
f1とはf()、f2とはg()のことです。

>「x,y≧０のとき」と書かれていますが, y はどこにいますか?
y=u-xをg(y)に入れました。

訂正です。
x,y≧０のとき
k(u)=∫f(x)g(u-x)dx
=a(a+1)e^(-(a+1)u)∫e^xdx(0～x～∞)

＞「y<0 のとき密度関数 g(y) の値が 0」という条件は使っていますか?
この条件は使っていません。。。どこかに使うのでしょうか。

元の文章の訂正も申し訳ありません。
至らない点ばかりで申し訳ありません。

回答No.1

Tacosan

「eが発散してしまいました」とは, どのような現象を指しているのでしょうか?
よければ, 計算過程を見せてもらえませんか?

補足

迅速な回答どうもありがとうございます。
x,y≧０のとき
k(u)=∫f1(x)f2(u-x)dx
=a(a+1)e^(-(a+1)u)∫e^xdx(0～x～∞)

これはuの扱い方を間違っているのでしょうか。
またx,y≧０と考えましたがそれ以外のときに場合わけなどをする必要があるのでしょうか。

教えていただけると嬉しいです。