汎関数微分について

質問

汎関数微分について

I[f]=exp[∫dx f(x)φ(x)]

の微分について

I[f+μ]-I[f]=exp[∫dx f(x)φ(x)]{exp[∫dx μ(x)φ(x)]-1}

までいって途方にくれています．どうかお助けください．よろしくお願いします．

回答No.2

gooKWave · ベストアンサー

何を求めたいのかいまひとつわからないのですが、
I[f]を単にf(x)で汎関数微分するだけなら

δf(y)/δf(x)＝δ(y－x)

の関係を使えば簡単に求められます。
I[f]の定義式で定積分してるので積分変数は任意なので
yとでもしておきます。

I[f]＝exp[∫dy f(y)φ(y)]

∴δI[f]/δf(x)＝δ(exp[∫dy f(y)φ(y)]) /δf(x)
＝exp[∫dy f(y)φ(y)]×(δ[∫dy f(y)φ(y)] /δf(x))
＝exp[∫dy f(y)φ(y)]×[∫dy(δf(y)/δf(x))φ(y)]
＝exp[∫dy f(y)φ(y)]×[∫dy δ(y－x)φ(y)]
＝φ(x)exp[∫dy f(y)φ(y)]＝φ(x)I[f]

また、μが微小な関数でI[f+μ]-I[f]をμの一次まで求めたいなら、
I[f+μ]を汎関数Taylor展開してμの一次まで取れば、

I[f+μ]＝I[f]＋∫dx μ(x)δI[f]/δf(x)

∴I[f+μ]－I[f]＝∫dx μ(x)δI[f]/δf(x)＝∫dx μ(x)φ(x)I[f]

回答No.1

muturajcp

I[f]=exp[∫{f(x)φ(x)}dx]

F(f)=∫{f(x)φ(x)}dx
(d/dx)F(f(x))=f(x)φ(x)=(d/df)F(f(x))f'(x)
(d/df)F(f(x))=f(x)φ(x)/f'(x)

(d/df)I[f]=exp[∫{f(x)φ(x)}dx]f(x)φ(x)/f'(x)