超函数の計算

質問

kを実数とする。
R^3上の函数f(x)=exp(ik|x|)/4π|x| (|x|>0)に対し、
超函数の意味で(Δ+k^2)f(x)を求めよ。

上の問題ですが、直接計算によって、
通常の函数の意味で(Δ+k^2)f(x)=0 (|x|>0)は示せるのですが、
超函数の意味での(Δ+k^2)f(x)の求め方がわかりません。
δ函数の定数倍になるのではないかと思うのですが、
どなたか教えてください。

回答No.1

ringohatimitu

超関数の意味でというのは、台がコンパクトな滑らかな関数ψに対して
∫_{R^3} f(x) (Δ+k^2)ψ(x) dx
を計算し、この積分がψに何を作用させたものなのかを見るということです。δ関数のように一点の代入やある関数をかけて積分するなどそれらが組み合わされてる可能性もあります。