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方程式の問題
方程式の問題です Xe^2-X＋１=ｅ^2Ｘ （Ｘ・ｅの２乗-Ｘ+1 ＝ ｅの２Ｘ乗） という方程式は解けますか？
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移項して (e^(2X))-X(e^2)+X-1=0 f(X)=(e^(2X))-X(e^2)+X-1とおくと f(1)=(e^2)-(e^2)+1-1=0 f(0)=1-0+0-1=0 なのでf(X)の2つの実解X=0,1がすぐ出てきます。 他に実解が存在しないことは以下のようにして調べることが分かります。 与方程式をXについて解くと X=(e^(2X)-1)/((e^2)-1) これの実解は y=g(X)=X, y=h(X)=(e^(2X)-1)/((e^2)-1) …(★) の交点のX座標として得られる。 g(0)=h(0)=0 g(1)=h(1)=1 (★)は 「交点(0,0),(1,1)」 …(☆) を持つことが分かる。 更に h(0)=1 h'(X)=2(e^(2X))/((e^2)-1)>0 h''(X)=4(e^(2X))/((e^2)-1)>0 なのでy=h(X)は原点を通り、下に凸の単調増加関数であり lim(X→-∞) h(x)=-1/((e^2)-1)(<0) 一方,y=g(X)=Xなので原点を通る傾き1の直線である。 以上からy=g(X)とy=h(X)のグラフを描いてみて下さい。 交点は(☆)の２つのみとなることが分かります。 したがって与方程式の実数解は X=0,1 の２つのみ。
その他の回答 (3)
0と1が解です。 それ以外に実数解はありません。 直線Y=(e^2-1)X+1と曲線Y=e^(2X)のグラフを描いてみれば直感的に解が2つしかないことがわかります。 実際、微分して増減を調べると確かめられます。
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回答ありがとうございます。 グラフを描いてみます！
- english777
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定かな答えではないかもですが… まずぱっとみてx=1が答えのひとつであることがわかると思うのですが、ただその解のみかを調べなければなりません。 そこでy=左辺とy=右辺のグラフを考えてみるとどうでしょうか!? 共有点がただひとつである、ということがいえそうですね♪(*^^*) つまり、その式を満たすxはx=1のみ、ということではないのでしょうか…。
お礼
回答ありがとうございます。 そうなんです、解が１，０であろうことは、代入などから分かったのですが、明確な解法が若ならくて…ありがとうございました。
解けますよ。
お礼
回答ありがとうございます。 どうやって解けばいいのでしょうか？ 両辺をlogでとってみたのですが、うまくいきません…
お礼
回答ありがとうございます。 丁寧なご説明でよくわかりました。 何度かお礼をしたのですが、どうしても反映されなくて…すみませんでした。