方程式の問題2問です 宜しくお願いします。

質問

(1)方程式　ｘ＾2(ｘ－１)＾2－７ｘ(ｘ－１)＋６＝０

(2)ｘ＝√５－√３　　ｙ＝√５＋√３　　のとき

　　ｘ＾3－ｘｙ－ｙ＾3　　の値を答えなさい。

＊二乗と三乗の入力方法がわからないので＾2　＾3　と書いています。

回答No.4

suko22 · ベストアンサー

＞（ｘ-ｙ）＾3+3ｘｙ（ｘ-ｙ）-ｘｙ　の式が浮ばないんですよね。。。
どこかに公式とかあるのでしょうか？

３乗の展開公式知りませんか？高校１年で習うんですけど、まだその学年ではないんでしょうか？

（ｘ+ｙ）＾3＝ｘ＾3+3ｘ＾2ｙ+3ｘｙ＾2+ｙ＾3
（ｘ-ｙ）＾3＝ｘ＾3-3ｘ＾2ｙ+3ｘｙ＾2-ｙ＾3

この２式から、
ｘ＾3+ｙ＾3＝（ｘ+ｙ）＾3-3ｘ＾2ｙ-3ｘｙ＾2　項を移行しました。
ｘ＾3+ｙ＾3＝（ｘ+ｙ）＾3-3ｘｙ（ｘ+ｙ）　後ろの2項を-3ｘｙでくくりました。

同様に
ｘ＾3-ｙ＾3＝（ｘ-ｙ）＾3+3ｘ＾2ｙ-3ｘｙ＾2　項を移行しました
ｘ＾3-ｙ＾3＝（ｘ-ｙ）＾3+3ｘｙ（ｘ-ｙ）　後ろの２項を3ｘｙで括りだしました、

こういうの知りませんか？

-------------------
２乗の展開公式を使ってこういうことはよくやりますよね？
（ｘ+ｙ）＾2＝ｘ＾2+2ｘｙ+ｙ＾2
これを変形すると、
ｘ＾2+ｙ＾2＝（ｘ+ｙ）＾2-2ｘｙ
-------------------
これと３乗の公式を変形したものは考え方は同じです。

あと３乗関連だと因数分解の公式を高１で習います。
ｘ＾3+ｙ＾3＝（ｘ+ｙ）（ｘ＾2-ｘｙ+ｙ＾2）
ｘ＾3-ｙ＾3＝（ｘ-ｙ）（ｘ＾2+ｘｙ+ｙ＾2）

これを使ってもできます。
ｘ＾3-ｙ＾3＝（ｘ-ｙ）（ｘ＾2+ｘｙ+ｙ＾2）
　　　　　　＝（ｘ-ｙ）｛（ｘ+ｙ）＾2-ｘｙ｝

--------------------
どうしてもわからなければ最終手段で、そのまま代入しても値は当然ですが出ます。
ｘ＾3-ｘｙ-ｙ＾3＝（√5-√3）＾3-（√5-√3）（√5+√3）-（√5+√3）＾3
　　　　　　　　＝・・・・・
計算の工夫としてｘ+ｙとｘｙ、またはｘ-ｙとｘｙまたはｘ+ｙとｘ-ｙとｘｙを使って与式を変形しておいてから代入するほうがいいと思いませんか？

お礼

高校一年で習うのですね！！

文系なのですっかり記憶になかったです。

専門学校の受験問題で中学卒業程度ってあったのですが、高校の内容とは…。

本当に丁寧な解説、有り難うございました。

回答No.3

asuncion

設問1
x(x-1)=tとおく。
t^2-7t+6=0
(t-1)(t-6)=0
t=1,6
x(x-1)=1
x^2-x-1=0
x={1±√(1+4)}/2=(1±√5)/2
x(x-1)=6
x^2-x-6=0
(x+2)(x-3)=0
x=-2,3
∴x=(1±√5)/2,-2,3

設問2
x^3-xy-y^3
=(x-y)(x^2+xy+y^2)-xy
=(x-y){(x+y)^2-xy}-xy
x-y=-2√3, x+y=2√5, xy=2を代入する。
与式=-2√3(20-2)-2
=-36√3-2

お礼

ご回答有り難うございました。
すっきりしました。

x^3-xy-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)-xy

でもこれもなかなか頭に浮ばないですよね。

中学３年生レベルのはずなんですが・・・。

これも公式などがあるのでしょうか？

回答No.2

suko22

＃１です。すみません。訂正です。

最後
＞与式＝（-2√3）＾2+3*2*（-2√3）-2＝12-12√3-2＝10-12√3

＾2ではなく＾3でした。

与式＝（-2√3）＾3+3*2*（-2√3）-2＝-24√3-12√3-2＝-36√3-2

計算は自分で確認してください。

回答No.1

suko22

(1)解くんですね。
ｘ＾2（ｘ-1）＾2-7ｘ（ｘ-1）+6＝0
｛ｘ（ｘ-1）｝＾2-7ｘ（ｘ-1）+6＝0　←ここがわかりにくければｘ（ｘ-1）＝Ｘと置き換えてみてください。
｛ｘ（ｘ-1）-1｝｛ｘ（ｘ-1）-6｝＝0
ｘ（ｘ-1）＝1またはｘ（ｘ-1）＝6

ｘ＾2-ｘ-1＝0
ｘ＝（1±√5）/2

ｘ＾2-ｘ-6＝0
（ｘ-3）（ｘ+2）＝0
ｘ＝3、-2

(2)ｘ＾3-ｘｙ-ｙ＾3＝（ｘ-ｙ）＾3+3ｘｙ（ｘ-ｙ）-ｘｙ

　ｘ-ｙ＝√5-√3-（√5+√3）＝-2√3
　ｘｙ＝（√5-√3）（√5+√3）＝5-3＝2

　与式＝（-2√3）＾2+3*2*（-2√3）-2＝12-12√3-2＝10-12√3

計算は自分で確認してください。

お礼

ご回答ありがとうございました！！

（ｘ-ｙ）＾3+3ｘｙ（ｘ-ｙ）-ｘｙ　の式が浮ばないんですよね。。。
どこかに公式とかあるのでしょうか？

　三乗がでてくるのなんて習った記憶がないもので・・・・・・。