2次方程式に関する問題について

質問

2次方程式に関する問題が分からず、投稿しました。
以下、問題です。

2つの2次方程式
X2+αx+b= 0， X2+bx+α=0(2は２乗を意味する)
は共通解をひとつだけもつという。
さらに、一方の方程式だけが重解をもつならば，
α=？またはα=？？である
問題終わり

この？と？？がわかりません。
ご教授願います。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ｘ＾２＋αｘ＋ｂ＝ｘ＾２＋ｂｘ＋α　とおくと
（ｘ－１）（αーｂ）＝０
これが成り立つのは、ｘ＝１、あるいはαーｂ＝０のときである。
αーｂ＝０のとき二つの方程式は同じになり、共通解が一つ、かつ一方のみが重解をもつという条件に反する。よってｘ＝１について考える。

ｘ＾２＋αｘ＋ｂ＝０が重解を持つ時、α＾２－４ｂ＝０
また、ｘ＝１を代入するとα＋ｂ＋１＝０
この二式より　α＾２＋４α＋４＝０
よってα＝－２、ｂ＝１

ｘ＾２＋ｂｘ＋α＝０が重解を持つ時上記と同様にして
α＝１、ｂ＝－２

お礼

gohtraw様

ご回答ありがとうございました。
大変助かりました。

回答No.2

sanori

こんにちは。

ｘ^2　＋　ａｘ　＋　ｂ　＝　０　　・・・（あ）
ｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ａ　＝　０　　・・・（い）
これらは、ａ、ｂに関して対称です。
ですから、重解を持つ二次方程式を（あ）と勝手に決めてしまいます。

（あ）の重解をｃ、（い）のｃ以外の解をｄ、　と置けば、
（あ）は、（ｘ－ｃ）^2 ＝　０　と同一で、
（い）は、（ｘ－ｃ）（ｘ－ｄ）　＝　０　と同一です。
よって、
ｘ^2　－　２ｃｘ　＋　ｃ^2　＝　ｘ^2　＋　ａｘ　＋　ｂ　　・・・（あ’）
ｘ^2　－　（ｃ＋ｄ）ｘ　＋　ｃｄ　＝　ｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ａ　　・・・（い’）

（あ’）より
－２ｃ　＝　ａ　　・・・（か）
ｃ^2　＝　ｂ　　・・・（き）
（い’）より
－（ｃ＋ｄ）　＝　ｂ　　・・・（く）
ｃｄ　＝　ａ　　・・・（け）
（か）～（け）からａが求まるはずです。
そして、ａとｂは取り替え可能なので、（か）～（け）から求めたｂは、もう一つのａとなるはずです。

お礼

sanori様

詳しいご回答ありがとうございました。
大変助かりました。