力学の問題（ドラム）

質問

機械力学の問題で添付のドラムの問題ですが、固有振動数をエネルギー保存で解きたいのですが、答えを導き出せません。

1/2mv^2+1/2Iw^2=1/2kx^2
（m：ワーク質量　v:速度　I:ドラム慣性モーメント　w:ドラム角速度　k:バネ定数　x:バネたわみ）

で解きはじめました。

v=rwより（rドラム半径）

1/2m*r^2*w^2+1/2Iw^2=1/2kx^2

まとめると
m*r^2*w^2+Iw^2=kx^2

w^2(mr^2+I)=kx^2

w=√(kx^2/mr^2+I)

ここでｘ＾2を置き換えたいのですが、よく分からなくなってしまいます。

ｋｘ＾2＝k*rθ*rで
mv^2+Iw^2=kx^2というモーメントで計算してある答えも類似問題で見つけたのですが
それですとk*rθ*rでしたらトルク値になりますから式自体は理解できるのですが

w=√(kx^2/mr^2+I)からｘ＾2を置き換えたいとなると
xはたわみですからrθですよね。となるとx^2=r^2*θ^2で

θ＾2って何なんですか？

なんだかよく分かりません。

説明が上手に出来ず、質問が下手ですが、そもそもエネルギー保存で解けるのですか？

ほんと説明が下手で申し訳ありません。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

まず、エネルギー保存の式が違う。

(1/2)mv^2-mgx+(1/2)Iw^2+(1/2)kx^2=一定

これが正しいエネルギー保存の式。位置エネルギーの項はxの原点を平衡の位置にずらすことで消すことが可能。
質問者の式はバネの弾性エネルギーが右辺にあるがこれは明らかに間違い。

w=v/r
ですのでこの式は
(1/2)(m+I/r^2)v^2+(1/2)kx^2=一定
と書き直すことができるが、これはバネ定数kのバネに質量m+I/r^2の質点をつけた場合の単振動の式と同じと考えればよいでしょう。

お礼

簡潔で大変わかりやすい説明有難うございます。理解できました。エネルギー保存の式を間違えていましたね。。。これは、私の考え方の間違いで、理解できていない証拠です。大変良い勉強ができました。有難うございました

回答No.1

yokkun831

>θ＾2って何なんですか？

xは何でしょうか？　xは初期変位です。したがって，θは円筒の初期角変位ですね？

でも，初めのエネルギーと終わりのエネルギーを比較するのではなく，一般の変位x におけるエネルギーを計算すればよいのです。xをつり合い位置からの変位として，

E = 1/2・mr^2ω^2 + 1/2・Iω^2 + 1/2・kx^2
= 1/2・(mr^2+I)ω^2 + 1/2・kr^2θ^2

単振動のエネルギー保存

E = 1/2・MV^2 + 1/2・KX^2

と比較して，
M → mr^2 + I
V=dX/dt → ω=dθ/dt
K → kr^2
X → θ

固有角振動数は，

Ω = √(K/M) = √{ kr^2/(mr^2+I) }

となると思います。

お礼

大変有難うございます。振動方程式との置き換えるための式を変形させることが重要なのですね。。。理解しました有難うございます