力学

質問

１．質量ｍの質点を、原点から角度θ、速さVで投げ上げた。重力加速度をｇとして、運動方程式を立て、与えられた初期条件のもとで解け

２．速度に比例した抵抗-mrvを受ける質量ｍの質点が、水平面を運動する。その従う運動方程式を立て、それが初速度Vで原点から投げられたという初期条件のもとで解け

３．質量ｍの物体が、壁に固定されたばねに速度Vで衝突し、逆向きに同じ速度で跳ね返されるときの運動方程式をたてて解け。ばねから受ける力はF＝-ｋｘで与えられる

４．原点から(-k1x,-k2y)の力を受けて水平面内を運動する質量ｍの質点の運動方程式を立てて解け。またそのその運動の軌跡はどうなるか求めよ

自分の解答
１．問題の意味がわかりません。初期条件がなにか
　　ｍｇ＝Vsinθ？

２．

３．－ｍV＋F＝ｍV
　　F=－ｋｘ
　　－ｋｘ＝２ｍV

４．

回答No.2

T-gamma · ベストアンサー

expXとはe^X（eのX乗）のことです。指数部分が複雑になると、右上に小さく書くのが不便のため、exp(-kt/m)みたいな関数で表します。

補足

さっきの問題を考えてみました。
1.水平方向の運動方程式　　ma=0....(1)
鉛直方向の運動方程式　　mA=-mg....(2)
　(1)よりa=0 (2)よりA=-g
これを積分して速度を求めると
　v=c1 ⅴ=-gt＋c2 (c1,c2は積分定数）
　初期条件；t=0でv=Vcosθ、ⅴ=Vsinθより
　v=Vcosθ、ⅴ=Vsinθ-gt
これを積分して位置を求めると
　x=Vcosθt＋c3,y=Vsinθt-1/2gt^2＋c4 (c3,c4は積分定数）
初期条件；x=0,y=0を用いると
　x=Vcosθt,y=Vsinθt-1/2gt^2

3.参考書などを見てみたんですがあんまり理解できません。
　mx"=-kx
x(t)=Aexp(at)を代入して計算すると
　ma^2=kx⇔a=±i√k/m
x(t)=Aexp(i√k/m)＋Bexp(-i√k/m) _____________＿＿＿＿
=Ccos(√k/m×t)＋Csin(√k/m×t) ↓↓この下が理解できません
v(t)=-C√k/m×sin(√k/m×t)＋D√k/m×cos(√k/m×t)

よってv(t)=-x0√k/m×sin(√k/m×t)
x(t)=x0cos(√k/m×t)

よろしくお願いします

回答No.3

T-gamma

１：正解です
３：
mx"=-kx
x(t)=Aexp(at)を代入して計算すると
　ma^2=kx⇔a=±i√k/m
x(t)=Aexp(i√k/m)＋Bexp(-i√k/m) _____________＿＿＿＿
=Ccos(√k/m×t)＋Csin(√k/m×t) ↓↓この下が理解できません
v(t)=-C√k/m×sin(√k/m×t)＋D√k/m×cos(√k/m×t)

申し訳ありません。数学的な微分方程式の解(虚数解の扱い方)は苦手なので、別の手法で解説します。

x"=-ω^2x (ω^2=k/m)の微分方程式をみたら
x=Ccosωt+Dsinωtとおきます。(元の代入したら成立するはずです)
これは単振動の一般解なので物理ではいきなりおいても問題ありません。位置を微分すると速度になるのですから、
v=x'=-ωCsinωt+ωDsinωt
初期条件はt=0でx=0,x'=Vですので、これでC,Dが決定するはずです。

本当は
a=±i√k/m
からの式変形を説明すべきですが、私自身の勉強不足でこの辺りの範囲は曖昧になってます。手元に微分方程式の本もないので、とりあえずこの説明のみとさせて頂きます。

お礼

いままでほんとうにありがとうございました。
勉強になりました。

回答No.1

T-gamma

自分の考えを載せてるだけまだマシですが、せめて「お願いします」くらいは書きましょうよ。

ヒント＆アドバイス

どうも物理がかなり苦手のようですね。(質問から類推するにお大学生のようですが、結構厳しいですね)
＞ｍｇ＝Vsinθ？
全く意味のない式ですね。右辺は「力」、左辺は「速さ」という次元（単位）のことなるものは等式では表せません。(文字通り次元が違います)

(1)図を描いてみてください、速度が水平成分と垂直成分に分けられるはずです。それが水平方向・垂直方向の初速度(速度の初期条件)となります。また、最初の位置をx=0.y=oとするとこれが位置の初期条件です。
(2)問題文の意味がよくわかりません。(私の力不足かもしれませんが)
(3)
－ｍV＋F＝ｍV
これも次元の異なる量の式になってます。
F＝-ｋｘですから、運動方程式は
mx"=-kx(単振動型の微分方程式)
初期条件
t=0でx'=V x=0
(4)
mx"=-k1x
ny"=-k2y
成分分けするとこれも単振動型の微分方程式です。

補足

expとはなんなんでしょうか？
さきほどヒントをもらったやつは今考え中ですのでもう少し時間がかかります
よろしくお願いします。