機械力学の問題です！！！

質問

図1に示す滑車が、質量mに対する重力によるモーメントとばねの復元力によるモーメントのつりあい位置を原点とし、角度θ(t)で回転振動している。このとき、エネルギー法を用いてこの系の固有円振動数ωnを求める。以下の問いに答えよ。ただし、滑車の半径をr,慣性モーメントをJとする。また、質量mの高さの変化による位置エネルギーの変化は無視する。

1.　この系の運動エネルギーTを求めよ。

2.　この系のポテンシャルエネルギーUを求めよ。

3.　自由振動解をθ(t)=Asinωnと仮定するとき、問1.2より運動エネルギーの最大値Tmaxおよびポテンシャルエネルギーの最大値Umaxを求めよ。

4.　エネルギー法より固有円振動数ωnを求めよ。

回答No.1

NemurinekoNya

なぜか知らないけれど、
「あなたにおすすめの質問」に出ていたので、
ちょっとだけやってみますか。

（１） T = (1/2)m(dx/dt)^2 + (1/2)J(dθ/dt)^2
x = rθの関係があるので、
T = (1/2)・mr^2・(dθ/dt)^2 + (1/2)J(dθ/dt)^2
= (1/2)(mr^2 + J)(dθ/dt)^2

（２） U = (1/2)・kx^2 = (1/2)kr^2・θ^2

（３）　上で求めたTとUの式にθ(t) = Asinωtを入れて計算すればよい。

（４）　E = T+Uとすると、これは保存される。つまり、dE/dt = 0
　dE/dt = (mr^2+J)(dθ/dt)(d^2θ/dt^2) + kr^2・(dθ/dt)・θ = 0
　(mr^2+J)(d^2θ/dt^2) + kr^2・θ = 0
　(mr^2+J)(d^2θ/dt^2) = -kr^2・θ
よって、
　ωn = √{(kr^2)/(mr^2+J)

とかやるんじゃないですか。

あるいは、
（３）で求めたTmax=Umaxと置き、ωnを求める。

大学のレポートや宿題だとすると、すでに提出期限を過ぎているかもwww。