弾性エネルギーと力学的エネルギー保存の法則

質問

ばねの上におもりが乗せて手を離す。物体の速さが最大になるのは、はじめの高さからいくら下がったところか。という問です。
計算過程でどうしてもわからないところがあります。
力学的エネルギー保存の法則から
0＝-mgx＋1/2mv^2＋1/2kx^2　
ここからが特にわかりません。
1/2mv^2＝-1/2k(x - mg/k)^2＋m^2g^2/2k

になるようですが、さっぱりわかりません。
xが(x - mg/k)にかわっている意味がわかりません。
どっから来たかわかる方がいましたら教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#56760 · ベストアンサー

0＝-mgx＋1/2mv^2＋1/2kx^2　
移行して
1/2mv^2＝1/2kx^2-mgx
1/2mv^2＝ｙとおくと
ｙ＝1/2kx^2-mgx
後は平方完成してｙの最大値を出したらよいと思います。

回答No.7

ht1914

＃３のご回答に近いです。

質量ｍの物体を載せたときの釣り合いの位置をａとします。
ｍｇ＝ｋａです。ａ＝ｍｇ／ｋです。質問文の中のｍｇ／ｋは釣り合いの位置です。ａを入れて書き直す（ｋを消す）と簡単になります。
（＃３では変数の数が増えてしまっています。）

（１／２）ｍｖ２＝ｍｇｘ－（１／２）ｋｘ＾２
　　　　　　　　＝ｍｇｘ－（１／２）（ｍｇ／ａ）ｘ＾２
ｖ＾２＝２ｇｘ－ｇｘ＾２／ａ
　　＝ｇｘ（２ａ－ｘ）／ａ
ｘ＝０，２ａでＶ＝０です。ｘ＝ａで最大値ｖ＝√（ｇａ）です。
（ａ＝ｍｇ／ｋを代入すると元に戻ります。）

釣り合いの位置を振動の中心として振幅ａの振動をします。釣り合いの位置を通過するときの速さが最大です。

回答No.6

ko-bar-ber

たびたびすみません。
座標の基準を変えて違う解法で解いてました。
ただの平方完成のようですね。
私の意見は無視してください…。

回答No.5

Mr_Holland

問題の式から、左辺を1/2・mv^2とし、右辺をｘについて平方完成させれば、求める式が得られます。

　　0＝-mgx＋1/2・mv^2＋1/2・kx^2
　　1/2・mv^2＝-1/2・kx^2+mgx
　　　　　　＝-1/2・k(x^2-2mgx/k)
　　　　　　＝-1/2・k{(x-mg/k)^2 -(mg/k)^2}
　　　　　　＝-1/2・k(x-mg/k)^2 -1/2・k(mg/k)^2
　　　　　　＝-1/2・k(x-mg/k)^2 -(mg)^2/(2k)

回答No.4

ko-bar-ber

No.3です。
もしよければ、問題の全文があると助かります。
ちなみにこれは、手を放すと単振動をすると思います。
参考まで。答えは、バネの弾性力と物体にかかる重力がつりあう位置だと思います。

回答No.3

ko-bar-ber

問題でどの文字を使用していいのかが分からないため、完全に説明することはできません。
とりあえず、式の変形だけ。

質量ｍの物体をバネ定数ｋのバネにのせ、つりあう位置をｘ’とします。
力のつり合いから、
　　Ｆ＝kx’＝mg　
を変形して
　　x’＝mg/k　
となります。
バネの変形がX（ｘからｘ’だけ変形したとき）、バネののびはx-x’
なので、弾性エネルギーは
　　1/2kX^2＝1/2k(x-x’)^2＝1/2k(x-mg/k)^2
となりますか？

回答No.2

noname#56760

訂正；符号が逆になってました。
1/2mv^2＝-1/2kx^2+mgx
1/2mv^2＝ｙとおくと
ｙ＝-1/2kx^2+mgx
後は平方完成してｙの最大値を出したらよいと思います。