力学的エネルギー保存の立式のしかたを教えてください。

質問

力学的エネルギー保存のところを学習しはじめたのですが、立式のしかたがよくわかりません。
よろしくお願いします。

問題
一端が床に固定され、他端に質量mの板が取り付けられたばねがある。板の上に同じ質量mの物体Aを載せたところ、ばねは自然長からx0縮んで静止した。
板を、さらに2x0押し下げて静かに放した。そして、ばねが自然長になったときに物体Aは板から離れて飛び出した。重力加速度の大きさをgとする。ばねが自然長になったときの速さv0はいくらか？

解答は、
エネルギー保存をつかう。位置エネルギーの基準を一番下にとる。図をみながら、エネルギーの流れを書く。
1/2k(x0+2x0)^2＝1/2(2m)v0^2+(2m)g(x0+2x0)---Ａ
∴v0=(3gx0)^2

とありましたが、そもそもこの公式の意味がよくわからないんですが、
右辺と左辺はどのように立式するのでしょうか？
テキストには、運動エネルギーKと位置エネルギーや弾性エネルギーUの和を力学的エネルギーという。
Ｅ＝K+U=一定---Ｂ
とあります。
問題をこの式のとおり立てるとすると、左辺のＥは未知のはずじゃないんでしょうか？
そして右辺は、まずは運動エネルギーは1/2mv^2
式ＢによるとそれプラスＵですが、このＵというのは、テキストによると、位置エネルギーも弾性エネルギーもUです。この場合、どちらを使うのですか？解答によると、位置エネルギーを使っていますが、どうしてですか？弾性エネルギーもありますよね？

あと、もう一つわからないのが、どの状態のときで立式すればいいかということです。
位置エネルギーも運動エネルギーもばねが自然長のとき、３x0押し下げたときでは、値が異なると思いますが、
どこの状態で立式するのでしょうか？
エネルギーは保存されるのだから、どの位置でも一緒だとは思いますが。。。

以上のとおり、この式の使い方、立式の仕方がよくわかりません。
どなたかアドバイスをよろしくお願いします。

回答No.1

ko-bar-ber · ベストアンサー

まずエネルギーはどの状態でも保存されますので、どの状態のときでも式を立ててOKだということです。
今回は、初めの状態（板を放す前）と、最後の状態（物体が飛び出たとき）で、保存の式を立てています。

すべてのエネルギーを書いてみます
●初めの弾性エネルギー
　バネが（x0+2x0）縮んでいますよね。
　Ｕ＝1/2k(x0+2x0)^2
●初めの（重力による）位置エネルギー
　高さの基準はどこにとってもいいですので、初めの位置を０とすると、
　Ｕ＝mgh＝０　　（ｈ＝０としましたから）
●初めの運動エネルギー
　初めは手で押さえていますから、止まっています
　Ｋ＝1/2mv^2＝０　　（v＝０ですよね）

●最後の弾性エネルギー
　バネは自然長ですので、変位は０です
　Ｕ＝1/2kx^2＝０　　（x＝０ですよね）
●最後の（重力による）位置エネルギー
　初めの位置よりも、（x0+2x0）だけ高くなりましたので
　Ｕ＝2mgh＝(2m)g(x0+2x0)　　（物体と板で2mあります）
●最後の運動エネルギー
　物体の速さは分かりません。ですからv0とします。
　Ｋ＝1/2(2m)v0^2

エネルギーは常に保存されるので、
初めの（弾性）＋（位置）＋（運動）＝最後の（弾性）＋（位置）＋（運動）
で式を立ててみましょう。
1/2k(x0+2x0)^2 + 0 + 0 ＝ 0 + 1/2(2m)v0^2 + (2m)g(x0+2x0)
となります。

慣れるまでは、０になるものも含め、すべてのエネルギーを書き出してみるといいと思います。

お礼

早速御回答頂きまして、ありがとうございます。
一つ一つ丁寧にご説明頂いて、大変わかりやすかったです。
自分でも見ながらさせていただくと、立式の仕方もわかりました。

ただ、一つ質問なのですが、
●最後の（重力による）位置エネルギー
●最後の運動エネルギー
のところで、m＝２ｍで計算されていますが、最後の状態では、物体Ａはすでに飛んでいっていますが、それでも、ここは2mで計算するということでしょうか？
よろしくお願い致します。

回答No.4

ko-bar-ber

No.1です。
すみません。少し間違いました。
はじめの重力による位置エネルギーも、質量は物体と板で２ｍですから、
●初めの（重力による）位置エネルギー
　高さの基準はどこにとってもいいですので、初めの位置を０とすると、
　Ｕ＝2mgh＝０　
●初めの運動エネルギー
　初めは手で押さえていますから、止まっています
　Ｋ＝1/2(2m)v^2＝０　
でした。
No.3でも書かれていますが、今はバネと物体と板の３つを考えています。
式はいつでも３つを考えないといけません。
物体が飛んでいってしまっても、忘れずに式に入れてあげてください。
物体が分裂しようが、すべて合わせたエネルギーが保存されますから。
もちろん、飛んでいった物体も動いているので、運動エネルギーは存在します。

お礼

度々の御回答ありがとうございます。

なるほど、エネルギーは保存されるのだから、飛んでいったものにもそのエネルギーの一部が入っているから、それも考えないとだめなのですね。よくわかりました。ありがとうございました。

回答No.3

Mr_Holland

＃２です。
　お礼をありがとうございます。

＞それから、位置エネルギーと弾性エネルギーは別に考えてもよいのですね。というか、この立式の仕方を教えていただいたら、常にこの３つのエネルギーの和が一定であることを知っていれば、それでいいのだなと思いました。

　位置エネルギと弾性エネルギは別物だと考えたほうがすっきりするでしょうから、「位置エネルギーと弾性エネルギーは別に考えても」構いません。
　ただ、弾性エネルギも位置が変わることによって生じるエネルギという点で位置エネルギと扱う場合もありますので、その場合は、頭の中で、弾性エネルギも含んだものだと読み替えるとよいと思います。

＞ばねが自然長のときのエネルギーを考えるとき、m=2mとなっているのが、少しひっかかりました。というのも、物体Ａはもう飛んでいっているので、m=mかなと思ったりしました。

　板の運動エネルギを忘れていませんか？　（板も動いていますよ。）
　バネが自然長のとき、物体Aの速度はもちろんv0ですが、この瞬間にちょうど板と物体Aも離れ始めるので、板の速度も同じv0になっています。
　そのため、この瞬間での運動エネルギは、
　　(バネが自然長のときの運動エネルギ)
　＝(板の運動エネルギ)＋(物体Aの運動エネルギ）
　＝1/2・mv0^2+1/2・mv0^2
　＝1/2・(m+m)v0^2
となります。

お礼

御回答ありがとうございます。
私は位置エネルギーとは、高さの差、だと思っていましたが、文字どおり、位置によるエネルギーの違いと考えると、弾性エネルギーも位置エネルギーの一種なのですね。

なるほど、板の運動エネルギーも考えないとだめなのですね。

度々ありがとうございました。

回答No.2

Mr_Holland

お使いのテキストでは、弾性エネルギも位置エネルギの一部として扱われているため、混乱させられているように見受けられました。
　混乱を避けるために、位置エネルギをV、弾性エネルギをUと置きなおして、
　　K＋V＋U＝一定
として、理解されてはいかがでしょうか。

　また、立式でお悩みのようですが、この問題では、バネが3x0押し下げられたときと、自然長のときの2点に注目していますので、
　　Ka＋Va＋Ua＝Kb＋Vb＋Ub　　　・・・（C)
　　ただし、
　　Ka, Va, Ua：それぞれ、バネが3x0押し下げられたときの運動エネルギ、位置エネルギ、弾性エネルギ
　　Kb, Vb, Ub：それぞれ、バネが自然長のときの運動エネルギ、位置エネルギ、弾性エネルギ
とすればよいだけです。

　ここで、各エネルギを求めていきますと、
　　Ka=0, Va=0, Ua=1/2・k(x0+2x0)^2
　　Kb=1/2・(m+m)v0^2, Va=(m+m)g(x0+2x0), Ub=0
となりますので、これを式(C)に代入すれば、問題の式（A)が求められます。

　なお、「板の上に同じ質量mの物体Aを載せたところ、ばねは自然長からx0縮んで静止した」ことから、バネ定数は、
　　kx0=(m+m)g　∴k=2mg/x0
と求められ、式（A)からv0を求められますが、ここで間違いが見られます。正しくは、
　　v0=√(3gx0)
ではないでしょうか。単位が合いませんので。

お礼

早速御回答頂きましてありがとうございます。
まずは、
＞正しくは、
＞　　v0=√(3gx0)
＞ではないでしょうか。
ですが、そのとおりです。ルートの書き方がわからなかったので、書き直したのですが、その際、ミスしてしまいました。すみません。

それから、位置エネルギーと弾性エネルギーは別に考えてもよいのですね。というか、この立式の仕方を教えていただいたら、常にこの３つのエネルギーの和が一定であることを知っていれば、それでいいのだなと思いました。

ただ、＃１さんのところにも書かせていただいたのですが、ばねが自然長のときのエネルギーを考えるとき、m=2mとなっているのが、少しひっかかりました。というのも、物体Ａはもう飛んでいっているので、m=mかなと思ったりしました。

ありがとうございました。