バネはどれだけ伸びるでしょうか（フックの法則）。

質問

バネはどれだけ伸びるでしょうか（フックの法則）。

添付の図を見て頂けますでしょうか。
図のように滑車を通して錘をつりさげ、バネの伸びを求めたいと思っております。
半径2rの円盤に関しては慣性モーメントIを指定してきています。

もし慣性モーメントを考慮せずに解くということになれば、当然バネの伸びは、
バネ定数をkとして、2mg/kですよね（錘の質量はmですが、力が滑車によって倍増
されるため）。

慣性モーメントを考慮した場合の今回の問題ですが、私は以下のように考えました。
おかしいところがないか指摘して頂けませんか。

糸の張力をTとすると、m(d^2x/dt^2)=mg-Tが成り立ち、回転の運動方程式は、
T×2r=Iω（ただし角速度をωとしました。）となります。ここでdx/dt＝rωなので、
これらの式より、d^2x/dt^2=4mgr^2/(4mr^2+I)と出ました。
よってd^2x/dt^2にmを掛けて、滑車によって力が倍増されることも考慮して2倍
すると、2m*(d^2x/dt^2)となり、これが実質の質量だと思ったので、これをフッ
クの法則の式に代入して、バネの伸びは、2m*(d^2x/dt^2)をkで割ったもの、即ち
(2m/k)*{4mgr^2/(4mr^2+I)}と答えを出しました。

問題分には重力加速度gが用意されていなかったのですが、これは誤りでしょうか。
独学でやっているため、また模範回答も無く、質問した次第です。
よろしくお願い致します。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

ばねの伸びを求めるのに，輪軸（滑車）の慣性モーメントは関係ありません。

つりあいの位置なら，2mg/k。
自然長からおもりを放して，伸びの最大長を求めるというような問題であれば，単振動の振幅が2mg/kなので，最大伸びは4mg/kです。

おもりの運動方程式はばねの伸びをxとするなら，おもりの変位を2xとしなければなりません。回転の運動方程式にばねの弾性力によるモーメント（トルク）が抜けています。また，運動方程式ですから角速度ではなく角加速度。

2m(d^2x/dt^2)=mg-T
I・dω/dt = T×2r - kx×r

となると思います。運動方程式の加速度をゼロとして力のつりあい，回転の運動方程式の角加速度をゼロとして力のモーメントのつりあいを得ます。左辺をゼロとした両式からx=2mg/k。したがって，つりあいに対して慣性モーメントは何の影響もありません。

上の２式をx=rωによってまとめると，単振動の運動方程式

(I/r^2 + 4m)(d^2x/dt^2) = -k(x-x0)，　x0 = 2mg/k

を得ます。慣性モーメントは，振動の周期を長くするはたらきを持ちます。