等式の証明

質問

(1)a+b+c+d=0のとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
　a³＋ｂ³＋c³+d³=3(a＋d)(b+d)(c+d)

(2)1/x+1/y+1/z=1/x+y+.zのとき、ｘ+ｙ、ｙ+ｚ、ｚ+ｘのうち少なくとも一つは0に等しいことを証明せよ。

(3)ｘ/2ｙ+ｚ＝ｙ/2ｚ+ｘ＝ｚ/2ｘ+ｙのとき、この式の値と、その時の実数ｘ、ｙ、ｚの条件を求めよ。

という三題です。途中式までお願いします。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

先ほどの解は　方程式の考え方を使ったが、式変形だけでやるなら。

(1)
a³＋ｂ³＋c³-3abc＝(a＋b＋c)*(a＾2＋b＾2＋c＾2-ab-bc-ca)
a＋b＋c＝-d、ab＋bc＋ca＝m、abc＝n　と置くと、a³＋ｂ³＋c³＝-d(d＾2-3m)＋3n
つまり、左辺＝a³＋ｂ³＋c³＋d³＝3(n+md)。
右辺＝3(a＋d)(b+d)(c+d)＝3{d＾3＋(a＋b＋c)d＾2＋(ab＋bc＋ca)d＋abc}＝3(n+md)。

(2)
条件式の分母を払うと、(x+y+z)*(xy+yz+zx)＝xyz
x+y+z＝aとすると、ｘ+ｙ＝a-z、ｙ+ｚ＝a-x、ｚ+ｘ＝aーy。
(ｘ+ｙ)*(ｙ+ｚ)*(ｚ+ｘ)＝(a-z)*(a-x)*(a-y)＝a＾3ー(x+y+z)a＾2＋(xy+yz+zx)a-xyz＝(x+y+z)*(xy+yz+zx)-xyz＝0
よつて、(ｘ+ｙ)*(ｙ+ｚ)*(ｚ+ｘ)＝0だから題意の通り。

お礼

ありがとうございました。

丁寧に教えて下さり、助かりました。

回答No.2

mister_moonlight

(1)
a＋b＋c＝-d、ab＋bc＋ca＝m、abc＝n　と置くと、a、b、cは　t＾3+dt＾2+mt-n＝0の2つの解。
つまり、t＾3＝-dt＾2-mt＋n　た゛から、a＾3＝-da＾2-ma＋n これは　bとcについても同じ。
よって、a³＋ｂ³＋c³+d³＝d³＋(a³＋ｂ³＋c³)＝d³＋3nーd(a＾2＋ｂ＾2＋c＾2)ーm(a＋b＋c)＝3(n+md)。
3(a＋d)(b+d)(c+d)＝3{d＾3＋(a＋b＋c)d＾2＋(ab＋bc＋ca)d＋abc}＝3(n+md)。

(2)
条件式の分母を払うと、(x+y+z)*(xy+yz+zx)＝xyz
x+y+z＝a、xy+yz+zx＝b、xyz＝c　とすると、ab＝c。
x、y、zは　t＾3-at＾2+bt-c＝t＾3-at＾2+bt-ab＝(t-a)*(t＾2+b)＝0の3解。
t-a＝0だから、例えば、x＝aとすると、x+y+z＝aよりｙ+ｚ＝0.
従って、題意の通りに成立する。

(3)　
どこまで、分母なのか分からないが、2ｙ+ｚ、2ｚ+ｘ、2ｘ+ｙが分母として話を進める。

ｘ/(2ｙ+ｚ)＝ｙ/(2ｚ+ｘ)＝ｚ/(2ｘ+ｙ)＝kとすると、ｘ＝k(2ｙ+ｚ)、ｙ＝k(2ｚ+ｘ)、ｚ＝k(2ｘ+ｙ)。
これらを足すと、x+y+z＝3k(x+y+z)になるから、x+y+z＝0のときと、x+y+z≠0の時の2つの場合を考える

加比の理を知ってると、ｘ/(2ｙ+ｚ)＝ｙ/(2ｚ+ｘ)＝ｚ/(2ｘ+ｙ)＝(x+y+z)/3(x+y+z)となるから、x+y+z＝0のときと、x+y+z≠0の時の2つの場合を考える事になり、全く同じになるんだが。

回答No.1

Tacosan

(1) 条件を突っ込んでベタに計算する.
(2), (3) こ～いうときはだいたい = k とおいてゴリゴリ計算.

お礼

ありがとうございました。

でも・・・
まだ、よくわからない・・・・