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不等式の証明
また、お世話になります。 (ab+cd)(ac+bd)>=4abcd a,b,c,dが正の数のとき、上記の不等式が成り立つことを証明したいのですが、どうやって証明すればいいのでしょうか？ よろしくお願いします。
- ringodaisuki
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相加平均≧相乗平均、 すなはち、｛a,b>0のとき、(a+b)/2>=√(ab) を繰り返して適用すればいいです。 条件a,b,c,dが正の数より、 ４つの積 ab、cd、ac、bdもすべて正の数です。 したがって、相加平均≧相乗平均より、次の２つの式が成立します。 (ab+cd)≧2√(abcd)>0---(1) (ac+bd)≧2√(acbd)>0---(2) 式(1)(2)の両辺とも正数なので、 辺同士を掛けても不等号の向きは変わらない。 ∴(ab+cd)(ac+bd)>=(2√(abcd))(2√(acbd))=4abcd.
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- nabla
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(ab+cd)(ac+bd)-4abcd =a^2bc+ab^2d+ac^2d+bcd^2-4abcd =(a^2bc-abcd)+(ab^2d-abcd)+(ac^2d-abcd)+(bcd^2-abcd) =abc(a-d)+abd(b-c)+acd(c-b)+bcd(d-a) =(a-d)(abc-bcd)+(b-c)(abd-acd) =bc(a-d)^2+ad(b-c)^2>=0 以上でよいと思います。
お礼
ありがとうございます。すばらしいですね！どの項を組み合わせて式を変形していくか、その発想力が欲しいと本当に思います。 ここで、みなさんにお礼なのですが、今回いろいろな解き方があることがわかりました。どこに着目するかが大事だとわかりました。自分でこういう問題が解けるようになりたいと思います。ありがとうございました。
- adsladsladsl
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(ab+cd)(ac+bd)>=4abcd (ab+cd)(ac+bd)-4abcd>=0 (ab+cd)(ac+bd)-4abcd =a^2bc-2abcd+d^2bc+b^2ad-2abcd+c^2ad =bc(a^2-2ad+d^2)+ad(b^2-2bc+c^2) =bc(a-d)^2+ad(b-c)^2 a,b,c,dが正の数なので、 bc(a-d)^2+ad(b-c)^2>=0
お礼
ありがとうございます。因数分解でも解けるんですね！もうなんだか感動してしまいました。いろいろな解き方を教えてもらってびっくりしています。 この因数分解は数学的センスが必要ですね・・そういうセンスを磨きたいです。
- QuiQuiQuiRin
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では私はルートを使わずに．．．． 両辺を展開してabcd（正の数）で割ると、 a/d + d/a + b/c + c/b >= 4 となります。 ここで、（a/d + d/a）に注目して、 a/d + d/a - 2 = (1/ad)*(a-d)^2 >= 0 よって a/d + d/a >= 2 同様に b/c + c/b >= 2 以上より a/d + d/a + b/c + c/b >= 4 こんなところでどうでしょうか。
お礼
ありがとうございます。そういう解き方もあったのですね！なるほど。abcdで割って、a/d + d/a + b/c + c/b >= 4 これで相加平均相乗平均を使ってもいいですね！ 無理に因数分解したり相加平均相乗平均を使わなくても解くことができるのですね。
- tomtak
- ベストアンサー率34% (153/440)
右辺＝a^2*bc+ad*b^2+ad*c^2+bc*d^2 ≧2ab√(bc*ad)+2cd√(ad*bc) ＝2√(abcd)*(ab+cd) ≧2√(abcd)*2√(ab*cd) ＝4abcd ２行目と４行目で、相加相乗平均の関係を使いました。 ※補足： 相加相乗平均の関係は、(a-b)^2≧0を展開して a^2+b^2≧2ab となることから成り立ちます。
お礼
ありがとうございます。展開したものに相加平均相乗平均を使うこともできるのですね！いろんな解き方があるんですね～。わたしも左辺を展開して、相加平均相乗平均で解こうとやってみたのですが、展開した左辺を一回でなんとかやろうとしていました。柔軟な発想が必要だと感じました。
- kiriburi
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a,b,c,d>0だから a/d+d/a≧2*√(a/d*d/a)=2……相加平均≧相乗平均 b/c+c/b≧2*√(b/c*c/b)=2 これらより a/d+d/a+b/c+c/b≧4 通分して整理すると (ab+cd)(ac+bd)≧4abcd (a=d かつ b=c のとき等号が成り立つ)
お礼
さっそくありがとうございます！なるほど～。そういうふうにすることもできるんですね！問題の不等式から、a/d+d/aとb/c+c/bを導くのはもはやセンスの問題なのでしょうか。わたしには発想がとてもできないです・・・すごいですね～。
お礼
早い回答をありがとうございます！ 質問文に「相加平均>=相乗平均をつかうんですか？」という一文を入れようと思ったくらい、あやしいと思っていましたが、さっぱりわからずにいたのです。 なるほど！そうやって使うんですね！目からウロコです。別々にやるんですね～。ありがとうございました。娘に大きい顔をして説明することができます。