不等式の証明

質問

不等式の証明で、
a^2+b^2+c^2+d^2+1 >= a+b+c+d
を証明しなさいと言う問題があるのですが、どうしても解けません。
　わかる方は、やり方を教えてください。
　また、このような問題のとき方というものがあれば、教えてください。

回答No.5

stone_wash · ベストアンサー

まぁ、一般的には、(～)^2≧0を利用するわけです。

まず、右辺を左辺に移項。そして、その式を関数f(x)とおく。すると問題はf(x)≧0をしめすことになります。

f(x)=a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d+1
　　=(a^2-a)+(b^2-b)+(c^2-c)+(d^2-d)…(1)

ここで、思い出しましょう。平方完成です。したがって

f(x)=(a-1/2)^2-1/4
　　+(b-1/2)^2-1/4
　　+(c-1/2)^2-1/4
　　+(d-1/2)^2-1/4
　　+1
　　=(a-1/2)^2+(b-1/2)^2+(c-1/2)^2+(d-1/2)^2…(2)

また、ここで、a,b,c,dが実数ならば、

(a-1/2)^2≧0
(b-1/2)^2≧0
(c-1/2)^2≧0
(d-1/2)^2≧0
である。
したがって、これらの4つの関係式と(2)式より、f(x)≧0であることが示された。故に与えられた不等式は証明された。
また等式成立は、４関係式より、a=b=c=d=1/2の時。

回答No.4

stomachman

> a-a^2＜0
> となるaの範囲は？
チョンボ。

a-a^2＞0
となるaの範囲は？

です。はい。

回答No.3

stomachman

では別の解法を。

a^2とaを比べてaの方が大きいときって、どんな場合でしょうか。
つまり
a-a^2＜0
となるaの範囲は？
y=a-a^2
のグラフ（横軸a, 縦軸y)を描いてみましょう。これは上に出っ張ってる放物線ですね。
a軸 (y=0)を横切る点はと言うと、方程式
a(1-a)=0
から　a=0, a=1 の２箇所であることが分かります。従って、0＜a＜1のときだけこのグラフはa軸より上に来て、すなわちa＞a^2になります。
さて、
y=a-a^2
が最大になるのはどこでしょうか。グラフは放物線ですから、左右対称形である。だからa=0とa=1の丁度中間、a=1/2のときにyは最大値Y
Y=(1/2)-(1/2)^2=1/4
を取ります。

以上で
a-a^2≦1/4
が分かった。つまり
a^2+1/4 ≧a
であって、等号が成り立つのはa=1/2のときだけです。

b,c,dについても全く同様に
b^2+1/4 ≧b
c^2+1/4 ≧c
d^2+1/4 ≧d
が成り立ちますんで、問題の不等式が成り立ちます。
そして等号が成り立つのはa=b=c=d=1/2のときだけ。

回答No.2

rapi7

基本方針は、平方完成です。
(a-1/2)^2=a^2-a+1/4・・・・あ
(b-1/2)^2=b^2-b+1/4・・・・い
(c-1/2)^2=c^2-c+1/4・・・・う
(d-1/2)^2=d^2-d+1/4・・・・え
としておくと、
「あいうえ」の右辺をすべて足す。
a^2-a+b^2-b+c^2-c+d^2-d+1
=(a-1/2)^2+(b-1/2)^2+(c-1/2)^2+(d-1/2)^2
>=0
となります。
したがって、a^2+b^2+c^2+d^2+1 >= a+b+c+d
証明は完成です。

回答No.1

ryn

a^2 - a
= (a - 1/2)^2 -1/4

などを使えばよろしいかと。