不等式の証明

質問

不等式の証明の問題で、
絶対値が１より小さい４つの実数a,b,c,dに対して、次の不等式が成り立つことを示せ。というものがありました。(１),(２)と２問あって
(１)はa＋b＜1＋abの証明でした。
これは(右辺)－(左辺)をして(a－1)(b－1)＞０となり、証明できました。
(２)は(１)を利用して示せ。となっており
(２)はa＋b＋c＋d＜3＋abcdの証明でした。
(１)よりa＋b＜1＋abなのでc＋d＜1＋cd
辺々加えてa＋b＋c＋d＜2＋ab＋cd
ここまではできたのですが、ここからどうやって右辺を3＋abcdに
するのかどうしてもわかりません。
答えにはa＋b＋c＋d＜2＋ab＋cd
　　　　　　　　　　　＜2＋(1＋abcd)
　　　　　　　　　　　＜3＋abcd
と書かれていたのですがどうしても
　　　＜2＋ab＋cd　　　　
　　　　　↓
　　　＜2＋(1＋abcd)
が分かりません。教えてください！

回答No.6

info22 · ベストアンサー

#3です。
A#3の補足質問の回答
> 2+ab+cd＜2+(1+abcd)となるところまで分かったのですが
> 左辺はa+b+c+dにどうやったらなるのでしょうか。

A#3の回答の
> 2+ab+cd＜2+(1+abcd)
と
質問者さんが質問で導かれている
>辺々加えてa＋b＋c＋d＜2＋ab＋cd
とをあわせれば

a＋b＋c＋d＜2＋ab＋cd ＜2+(1+abcd)
となりますね。

これから最初の式と最後の式の大小関係の式
a＋b＋c＋d ＜ 2+(1+abcd)

が導出できます。
お分かりになりました？

お礼

本当によく分かりました。
とても丁寧なご説明ありがとうございました！！

回答No.5

owata-www

＞左辺はa+b+c+dにどうやったらなるのでしょうか。

ご自分で
＞a＋b＜1＋abなのでc＋d＜1＋cd
辺々加えてa＋b＋c＋d＜2＋ab＋cd

と解いていますがどこがわからないのでしょうか？

お礼

その通りですね。
少し勘違いをしていました。
ありがとうございました！

回答No.4

mister_moonlight

解法が指定されているから誘導に乗るだけだが、指定されていない時の別解。

a、b、c、dのどれを見ても1次関数になっている事に着目する。取り合えず、aの関数と見よう、

｜a｜＜1、｜b｜＜1、｜c｜＜1、｜d｜＜1‥‥(1)
f（a）＝（bcd-1）*a＋（3-b-c-d）＞0を示すと良い。
条件から、bcd-1＜0よりf（a）は傾きが負のaの1次関数だから、(1)よりf（a）＞f（1）→　bcd-（b＋c＋d）＋2＞0　‥‥(2)
今度は、(2)をbの一次関数と見ると、g（b）＝（cd-1）*b＋（2-c-d）。
｜b｜＜1より、g（b）＞g（1）→　cd-（c＋d）＋1＝（c-1）*（d-1）＞0.
以上より、a＋b＋c＋d＜3＋abcd。　（Ｑ、Ｅ、Ｄ）

(１)の　a＋b＜1＋ab　の証明も同様にして解ける事は、上の解法から理解できるだろう。

お礼

なるほど。
こういう導き方もあるのですね。
ありがとうございました！

回答No.3

info22

>　　　＜2＋ab＋cd　　…（●）　　
>　　　　　↓
>　　　＜2＋(1＋abcd) …（◆）
>が分かりません。

(1)から実数a,bについて
|a|<1,|b|<1のとき a＋b＜1＋ab
が証明できているから
つまり実数x,yについて次の公式が成り立つわけです。
|x|<1,|y|<1のとき x＋y＜1＋xy
この公式で
x=ab,y=cdとおいても
|x|=|ab|<1,|y|=|cd|<1
を満たすので
(ab)+(cd)＜1+(ab)(cd)
つまり
ab+cd＜1+abcd
が成り立ちます。
この両辺に2を加えれば
2+ab+cd＜2+(1+abcd)
が成り立つので(●)→(◆)に移れる
のではないでしょうか？

補足

ありがとうございます！
2+ab+cd＜2+(1+abcd)となるところまで分かったのですが
左辺はa+b+c+dにどうやったらなるのでしょうか。
教えてください！

回答No.2

Quattro99

a,b,c,dの絶対値が1より小さければ、ab、cdの絶対値も1より小さくなるので、＃1さんの回答のように(1)を適用することが出来ます。

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

ichiro-hot

(１)よりa＋b＜1＋ab
（ａｂ）＋（ｃｄ）＜１＋（ab)・（ｃｄ）
だから，
a＋b＋c＋d＜2＋（ab）＋（cd）＜2＋｛ １＋（ab)・（ｃｄ）｝
となるだけですね。

お礼

ありがとうございます！