シュワルツの不等式の証明（ものすごく基本？）

質問

題名の証明をしているのですが、わからないところがあります。証明するときにはなんか積分の部分をＡやらＢやらＣやらに置いて不等式At^2+2Bt+C≧0としています。そしてこれが成り立つための条件がＡ＞0、Ｂ＾２－ＡＣ≦0またはＡ＝Ｂ＝0、Ｃ≧0となっています。

このＢ＾２－ＡＣ≦0の部分がわからないのです。解をもつのならＢ＾２－ＡＣ≧0になるのではないのですか？

かなり基本的（ひょっとしたら二次不等式の問題？）なのですがよろしくおねがいます。

回答No.1

tatsumi01 · ベストアンサー

At^2+2Bt+C でもいいのですが、見慣れた Ax^2+2Bx+C にしましょう。

y = Ax^2+2Bx+C が x軸と交わる (Ax^2+2Bx+C = 0 が解を持つ) と、A>0 のとき、グラフが x軸より下に来てしまいます。

Ax^2+2Bx+C ≧ 0 であるためには、x軸と交わってはいけないのです。だから「解を持たない」が正解ですね。

お礼

回答ありがとうございます。なんか単純なとこがぬけてたみたいですね。

回答No.2

mister_moonlight

＞証明するときにはなんか積分の部分をＡやらＢやらＣやらに置いて不等式At^2+2Bt+C≧0としています。そしてこれが成り立つための条件がＡ＞0、Ｂ＾２－ＡＣ≦0またはＡ＝Ｂ＝0、Ｃ≧0となっています。

シュワルツの積分不等式の事を言われているんでしょう。

f(x)、g(x)をa≦x≦bで定義された連続関数とする。
このとき、∫〔a、b〕{f(x)}＾2 dx*∫〔a、b〕{g(x)}＾2 dx≧{∫〔a、b〕{f(x)*g(x)}}＾2　が成立する。

これの証明の事と思います。

∫〔a、b〕{f(x)*t＋g(x)}＾2 dx≧0、従って、、〔∫〔a、b〕{f(x)}＾2 dx　〕t＾2＋2*〔∫〔a、b〕{f(x)*g(x)} dx　〕t＋∫〔a、b〕{g(x)}＾2 dx≧0は、任意の実数tに対して成立する。

ここで、〔∫〔a、b〕{f(x)}＾2 dx　〕＝Ａ、*〔∫〔a、b〕{f(x)*g(x)} dx　〕＝Ｂ、∫〔a、b〕{g(x)}＾2 dx＝Ｃと置くと、貴方の質問につながります。

後は、不等式At^2+2Bt+C≧0　‥‥(1)が常に成立する条件を求めるだけです。

Ａ＝0のときは、Ｂ＝0、Ｃ≧0.
Ａ≠0の時は、Ａ＞0の時は、判別式≦0.
これは、単純な絶対不等式ですから分かると思いますが？

お礼

回答ありがとうございます。よくわかりました！！