関数f(x)=x^x のn階微分

質問

関数f(x)=x^x のn階微分を求めてください!!!

高校の範囲外でも全然かまいません。

宜しくお願いします。。。

回答No.1

hrsmmhr

y=ln(f(x))=xlnx
y'=lnx+1
y''=1/x...

y'=1/f(x)*df/dx
df/dx=f(x)y'=x^x(lnx+1)
d^2f/dx^2=df/dx(lnx+1)+f(x)*1/x=f(x){1/x+(lnx+1)^2}

d^nf/dx^n=f(x){y~(n)+Xn(1)y~(n-1)(lnx+1)+Xn(2)y~(n-2)(lnx+1)^2)+...+Xn(n-2)y''(lnx+1)^(n-2)+(lnx+1)^n
=(-1)^(n-2)/{(n-2)!x^(n-1)}+Σ[k=1→n-2][Xn(k)((-1)^(k-2)/{(n-k-1)!x^(n-k-1)}(lnx+1)^k]+(lnx+1)^n

Xn(k)=(k+1)X(n-1)(k+1)+X(n-1)(k),X(n-1)(n-1)=1
ですが、Xn(k)の一般項算出はお任せします