2階微分は図形的に何を示す？

質問

変数ｘから成るｎ次元(n>2)の関数ｙをｘについて２階微分することは
図形的には何を表すのでしょうか？
もし、関数ｙをｘについて１階微分した結果をdydxとすると、
dydx>0ならば、これは関数ｙの勾配を上る方向になり、
dydx<0ならば、これは関数ｙの勾配を下る方向になりますよね。
このような状況で２階微分が図形的に何を意味するのか気になったので
ご質問しました。
回答よろしくお願いします。

回答No.5

sanori · ベストアンサー

再びお邪魔します。

＞＞＞
つまり、二階微分をすると曲線の形を近似できるってことですか？
図形的にとらえたいので、その辺を教えてください。

繰り返しになってしまうのですが、
「下に凸」「上に凸」という言葉が図形的な説明です。

いうなれば、「下に凸」は、グラフの上部から水を垂らしたとき、水がたまる器のような形状です。
グラフを±９０度の範囲で回転してもよいから、その場所にとにかくたまるように出来るのであれば、その場所は「下に凸」です。

「上に凸」は、上側から水をたらしたとき、水をためることができません。

ネットを検索して、図を見つけましたので貼っています。
奇しくも私が前回回答で例示した　ｙ＝ｘ^3 ＋ ３ｘ^2　が例になっています。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/derivative/inflectionpoint.htm

お礼

回答ありがとうございます。
おかげで図形的な意味合いが分かりました。

回答No.4

Quattro99

すみません。間違えました。

> 2階微分が0なら傾きが変化しないということで直線です。
2階微分が0なら傾きが増えようとも減ろうともしていないことになって、変曲点か直線の一部です。

あんまり自信ないです。

回答No.3

Quattro99

微分の前に変化の割合とか平均変化率というのをやったと思います。Δy/Δxというやつです。で、Δxをどんどん小さくしていくとどうなるのかというのが微分係数です。つまり、微分係数はその点での変化の割合を意味しています。
1階微分はその点における数値の変化の割合です。2階微分は変化の割合の変化の割合ということになります。つまり、変化の割合がどんなふうに変化しようとしているところなのかを意味します。
変化の割合とは傾きですから、2階微分が0なら傾きが変化しないということで直線です。2階微分が正なら傾きがどんどん大きくなっていくわけですから下に凸の曲線、2階微分が負なら傾きがどんどん小さくなっていくわけですから上に凸の曲線ということになります。

回答No.2

sanori

二階微分がプラスであれば下に凸、マイナスであれば上に凸。

そして、ゼロであれば、それは下に凸と上に凸との境目になり、その点を（曲がり方の変わり目という意味で）「変曲点」と言います。

ｙ＝ｘ^2　の二階微分は２、つまり、プラスの定数ですので、グラフは常に下に凸になります。

ｙ＝ｘ^3＋３ｘ^2　は、
一回微分が　３ｘ^2＋６ｘ
二階微分が　６ｘ＋６＝６（ｘ＋１）
ｘ＜－１　では二階微分がマイナス→上に凸
ｘ＝－１　では二階微分がゼロ→変曲点
ｘ＞－１　では二階微分がプラス→下に凸
となります。

補足

つまり、二階微分をすると曲線の形を近似できるってことですか？
図形的にとらえたいので、その辺を教えてください。

回答No.1

shinkun0114

これは曲線の向きになりますね。
2次関数を2階微分するとわかりやすいのですが、
・正のとき　下に凸の曲線
・負のとき　上に凸の曲線

補足

つまり、二階微分をすると曲線の形を近似できるってことですか？
図形的にとらえたいので、その辺を教えてください。