log(1-x^2) のn階導関数

質問

log(1-x^2)　のn階導関数を求めてください、お願いします。　

│x│<1　です。

回答No.2

sunflower-san · ベストアンサー

│x│<1のとき、1+x,1-x は共に正です。
よって、

log(1-x^2)
= log{(1-x)・(1+x)}
= log(1-x)+log(1+x) となります。

これより、一階導関数は

(d/dx){log(1-x^2)}
= (d/dx){log(1-x)+log(1+x)}
= 1/(x-1)+1/(x+1)

と計算出来、

さらに繰り返し微分することで、

(d/dx)^n{log(1-x^2)}
= (d/dx)^(n-1){1/(x-1)+1/(x+1)}
= (d/dx)^(n-2){(-1)/(x-1)^2+(-1)/(x+1)^2}
= (d/dx)^(n-3){(-1)・(-2)/(x-1)^3+(-1)・(-2)/(x+1)^3}
・
・
= (-1)^(n-1)×(n-1)!×{1/(x-1)^n+1/(x+1)^n}

と計算できます。

お礼

丁寧にありがとうございます。

回答No.3

info22_

f(x)=log(1-x^2)
f'(x)=-2x/(1-x^2)=1/(x-1)+1/(x+1)
=(x-1)^(-1)+(x+1)^(-1)
f''(x)=(-1)(x-1)^(-2)+(-1)(x+1)^(-2)=(-1){1/(x-1)^2+1/(x+1)^2}
f'''(x)=f^(3)(x)=(-1)(-2){(x-1)^(-3)+(x+1)^(-3)}
=(-1)^2*2!{1/(x-1)^3+1/(x+1)^3}

...

f^(n)(x)={(-1)^(n-1)}(n-1)!{1/(x-1)^n +1/(x+1)^n}

こんな風にやればいいかな？

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

noname#199771

一回微分してみて、それを部分分数分解。

お礼

ありがとうございます。