n階微分？？

質問

x^n*x^n=x^2nの両辺をライプニッツの公式を使ってn階微分したいのですが…どう解くのかよくわかりません。
ちなみにライプニッツの公式自体はわかります。よかったら教えてください。お願いします。

回答No.4

koko_u_

>ちなみに[k=0→n]Σ(nCk)^2はどうして(2n)!/(n!)^2になるのですか‥(._.)?
えーっと。
それが知りたくて x^n * x^n = x^(2n) の両辺を微分したのではないのですか？

回答No.3

Mr_Holland

＃２です。
　お礼をありがとうございます。

＞ちなみに[k=0→n]Σ(nCk)^2はどうして(2n)!/(n!)^2になるのですか‥(._.)?

　これは公式ですが、求め方を以下に示します。

　x,yを任意の実数としますと、(x+y)^(2n)　は2項係数を使って次の2通りで表すことができます。

　　(x+y)^(2n)　＝　[i=0→2n]Σ (2n)Ck x^i y^(2n-i)　　・・・・（A)

　　(x+y)^(2n)　＝　{(x+y)^n}^2
　　　　　　　　＝　{ [k=0→n]ΣnCk x^k y^(n-k) }^2
　　　　　　　　＝　[k=0→n]ΣnCk x^k y^(n-k)　×　[j=0→n]ΣnCj x^(n-j) y^j
　　　　　　　　＝　[j,k=0→n]Σ nCk nCj x^(n+k-j) y^(n-k+j)　　・・・・・（B)

　この2つの式は、同じものを別の表し方をしたにすぎないので、任意のx、ｙについて常に次の式が成り立ちます。

　　[i=0→2n]Σ (2n)Ck x^i y^(2n-i)　＝　[j,k=0→n]Σ nCk nCj x^(n+k-j) y^(n-k+j)　　　・・・・・（C)

　さらに、この式は、ｘとｙについての恒等式ですので、x^i y^(2n-i) の係数は、両辺で等しくなければなりません。
　ここで、式（C)のx^n y^n の項だけについて注目しますと、この項ができるのは、ｉ＝ｎ、ｊ＝ｋのときで、式(C) は次のようになります。
　　(2n)Cn x^n y^(2n-n)　＝　[k=0→n]Σ nCk nCk x^(n+k-k) y^(n-k+k)
　⇔(2n)Cn x^n y^n　＝　[k=0→n]Σ (nCk)^2 x^n y^n

　したがって、ｘとｙは任意ですので、x^n y^nを除いた係数が等しくなければならず、次の関係が成り立つことになります。

　∴(2n)Cn 　＝　[k=0→n]Σ (nCk)^2

　ここで、両辺を入れ換えて、(2n)Cn を階乗の式で表すと、求める公式が得られます。

　∴[k=0→n]Σ (nCk)^2　＝　(2n)!/(n!)^2

＞それと(2n)!/(n!)はなんでx^nなのでしょうか

　＃２の「(左辺)」、「(右辺)」で誤解されたのかもしれません。
　厳密に言えば、「(左辺)」は(左辺のｎ階微分)で、「(右辺)」は(右辺のｎ階微分)だと思ってください。

回答No.2

Mr_Holland

左辺にライプニッツの公式を適用しますと、次のように変形できて、右辺に公式を適用したものになります。

　　(左辺)
　＝[k=0→n]ΣnCk・n!/(n-k)!・x^(n-k)・n!/{n-(n-k)}!・x^{n-(n-k)}
　＝[k=0→n]Σn!(nCk)^2・x^n
　＝n!・x^n・[k=0→n]Σ(nCk)^2
　＝n!・x^n・(2n)!/(n!)^2　　　（∵　[k=0→n]Σ(nCk)^2＝(2n)!/(n!)^2　）
　＝(2n)!/(n!)・x^n
　＝(右辺)

お礼

丁寧にありがとうございます。
ちなみに[k=0→n]Σ(nCk)^2はどうして(2n)!/(n!)^2になるのですか‥(._.)?それと(2n)!/(n!)はなんでx^nなのでしょうか…度々すみません。お願いします。

回答No.1

koko_u_

>どう解くのかよくわかりません。
x^n * x^n についてのみライプニッツの公式を使えばよろしい。