関数方程式、微分方程式、f '(x)=f(2x)

質問

ふと疑問に思ったのですが、
関数方程式とか微分方程式とかいうのか分かりませんが、

f '(x)=f(2x)

って解けるのでしょうか?

初期値などは適度に決めていただいていいです。
必要であれば、係数などを適度に変えてもらってもいいです。

回答No.5

noname#101087 · ベストアンサー

#4 です。切れぎれですみません。

最後は収束性ですが、
　Am = {2^s(m-1)/m!}*A0　>　ただし、s(i) は整数 1～i の和
というのでは、原点以外で発散するのが明らかです。

やっと、#3 さんの結論にたどりつきました。
残っている領域に目を転じましょう。

　f'(x) = f(x)
は指数関数ですからたとえば、
　f'(x) = f(x/2)
ですかね。
チャレンジしてみてください。

回答No.4

noname#101087

#2 です。
係数を試算してみました。その要約だけ.... 。

>f(x) を級数表示。
>　f(x)=A0 + A1*X +A2*X^2 + .... + Am*X^m + .....
>
>　f(2x)=A0 + 2*A1*X +4*A2*X^2 + ... + (2^m)*Am*X^m + .....
>　f'(x)=A1 + 2*A2*X + .... + A_m+1*(m+1)X^m + .....
>この二式にて、X^m の係数を等置。

試算結果は、
　Am = {2^s(m-1)/m!}*A0
　　ただし、s(i) は整数 1～i の和
でした。

合ってるか否か、チェックしてください。
初等関数には見かけない級数のようですね。(指数関数よりも勾配が急になる感じ)

回答No.3

waseda2003

結論から言えば，f '(x) = f (2x) を満たす関数 f (x) は
求まります。

まず，f '(x) の存在より f (x) は（１回）微分可能で，
f '(x) が微分可能な f (2x) に一致するのですから，
f '(x) は微分可能，すなわち f (x) は２回微分可能となります。
数学的帰納法により，結局
　　f (x) は無限回微分可能で，特に f ^{(n)} (x) は連続
となります。

f '(x) = f (2x) の両辺を次々と微分していくと
　　f '' (x) = 2f '(2x) = 2f (4x)
　　f ^{(3)} (x) = 2*4f '(4x) = 8f (8x)
　　・・・
　　f ^{(n)} (x) = (2^{n-1}) * (2^{n-2}) *・・・* 2 * f ({2^n}*x)
　　　　　　　 = 2^{(1/2)n(n-1)} * f ({2^n}*x)
となります。 x を {2^(-n)}*x に置き換えると
　　f (x) = 2^{-(1/2)n(n-1)} * f ^{(n)} (x/{2^n})
が得られます。
この関係式は任意の自然数nに対して成り立ち，各関数は
すべて連続ですから，n→∞としてもそのまま成り立って
　　　f (x) ≡0　（定数関数)
に限られることがわかります。

（注）　f ^{(n)} (x) は連続ですから，
　　　　　　lim_(t→0) f ^{(n)} (t) = f ^{(n)} (0)
が成り立ちます。

回答No.2

noname#101087

>f '(x)=f(2x)
>って解けるのでしょうか?

f(x) を級数表示にしてみたらどうでしょうかね。
　f(x)=A0 + A1*X +A2*X^2 + .... + Am*X^m + .....
とおいてみましょう。

　f(2x)=A0 + 2*A1*X +4*A2*X^2 + ... + (2^m)*Am*X^m + .....
　f'(x)=A1 + 2*A2*X + .... + A_m+1*(m+1)X^m + .....
この二つの式にて、X^m の係数を等置してみるのです。
A0 を決めれば、ほかの係数はすべて決まりそうです。

既知の関数になるのでしょうか?

回答No.1

Budger

何でもアリなら・・・・・

　定数関数　f(x)=0

は，お書きの「f'(x)=f(2x)」を満たしますけど・・・