n次導関数

質問

前回でまだわからないとこがあったのでもう一度。
f(x)=1/(1+x)のn次導関数をもとめたいんですが
f^(n)(x)=(-1)(-1-1)・・・(-1-n+1)(1+x)^(-1-n)
最後の項にxが残るのはなぜですか？
微分したら(1+x)は1になると思うのですが。

回答No.4

info22

#1です。
> ちょっと何書いてるか理解できません。すいません。
> Aの両辺は=で結べるんでしょうか？
当然左辺と右辺は同じ内容を書き換えただけですから＝で結べます。
マイナスの指数について基本的な知識が欠如していませか。

> Bも理解できません。本当にすみません。
上記と同じことですから（A)が理解できないなら
（B)も理解できないですね。

「負の指数」について復習しなおさないと先に進めませんよ。
基本的な数学の常識事項ですから、負の指数部の扱いが理解できるようになってから、A#1の解答の内容をご覧になって下さい。

2^(-1)=1/2
2^(-2)=(1/2)^2=1/(2^2) =1/4
などは理解できますか？（中学レベル？）

上記が分かるなら、２をx(>0)に置き換えて
x^(-1) = 1/x
x^(-2) = (1/x)^2 = 1/x^2

更にべき乗を文字n(>0)にして

x^(-n-1) = x^{-(n+1)} = (1/x)^(n+1) = 1/{x^(n+1)}

という関係式は理解の範囲ですか？

分かれば、更にxを(1+x)に置き換えて
(1+x)^(-n-1) = (1+x)^{-(n+1)} = {1/(1+x)}^(n+1) = 1/{(x+1)^(n+1)}
が理解できますか？

以上何度も順にじっくり繰り返し眺めて見てください。
そうすれば理解できるようになるはずです。

理解できるようになったら、A#1の解答を改めてご覧下さい。

回答No.3

nettiw

どうも負の指数でひっかかっている気がします。
もうひとつは、g(x)=x^n との混同があるかとも思います。

（１）g(x)=x^n　の高階微分に関して。

g^(0)=[x^(n)]
g^(1)=n・[x^(n-1)]
g^(2)=n(n-1)・[x^(n-2)]
g^(3)=n(n-1)(n-2)・[x^(n-3)]
・・・・
g^(k)=nＰk・[x^(n-k)]・・・・1≦k≦n
・・・・
g^(n-2)=n(n-1)(n-2)・・・(3)・[x^(2)]
g^(n-1)=n(n-1)(n-2)・・・(3)(2)・[x^(1)]
g^(n)=n(n-1)(n-2)・・・(3)(2)(1)・[x^(0)]=n!
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑（１です）
k≧n+1 では g^(k)=0 です。

x^3を順に微分して行くと、
3(x^2), 6x ,6 ,0 ,0 ,0・・・・
順次微分して行って最後にゼロになるのは、
多項式関数（ｎ次関数）だけと思います。

（２）　負の指数に関して。

f(x)=1/(1+x)　は、多項式関数（ｎ次関数）ではありません。
有理関数（分数関数）です。
昨日の投稿を分数式で書いて見ます。
f^(0)=[1/(1+x)]
f^(1)=(-1)[　1/{(1+x)^2}　]
f^(2)=(-1)(-2)[　1/{(1+x)^3}　]
f^(3)=(-1)(-2)(-3)[　1/{(1+x)^4}　]
f^(4)=(-1)(-2)(-3)(-4)[　1/{(1+x)^5}　]
f^(5)=(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)[　1/{(1+x)^6}　]
・・・
・・・
分数形で書いた時の1+xの次数は、
２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、・・・　　　です。
これでも最後の項が１になる気がしますか。

（３）　
最後の項が１になる気がするなら、
２、３日　頭を休めるのが賢明と思います。
（私は眼鏡を良く捜します。左手に眼鏡を持ちつつ。）

補足

(2)で指数の数が上がっているのは分数関数の微分で分母が2乗されるからでしょうか。
でも1づつあがっているということは違うんでしょうか。
問題が載っている冊子の答えでは^(-1)にしてから微分してますし。
時間をおいて考えるのもいいかもしれませんね。

回答No.2

info22

> (1+x)^(-1-n)を微分すると(-1-n)が前に出て(1+x)を微分して^(-1-n-1)になると思うのですが。
> どこが間違っているのでしょうか？
肩（指数部）がマイナスである事を見落として見えませんか？
(1+x)^(-1-n)＝{1/(1+x)}^(n+1)…(A)
これを比較のため両辺を微分すれば
(-1-n)(1+x)^(-1-n-1)＝(n+1){1/(1+x)}^(n){1/(x+1)}'
　　　　　　　　　　＝(n+1){1/(1+x)}^(n)*{-1/(x+1)^2}
　　　　　　　　　　＝-(n+1){1/(1+x)}^(n+2)…(B)
ここで(A)と(B)を比較すると分母の(1+x)の肩が１増加していますね。
微分するたびに分母の(1+x)が一次ずつ増加していますね。
増加していくと絶対に分母の(1+x)がなくなる事はありませんね。

お分かりですか？

補足

ちょっと何書いてるか理解できません。すいません。
Aの両辺は=で結べるんでしょうか？
Bも理解できません。本当にすみません。

回答No.1

info22

(1+x)'=1
ですが
分母に(1+x)がある
1/(1+x)
は何回微分してもなくなりませんよ。

補足

(1+x)^(-1-n)を微分すると(-1-n)が前に出て(1+x)を微分して^(-1-n-1)になると思うのですが。
どこが間違っているのでしょうか？