双曲線関数のn階微分

質問

双曲線関数cosh xの逆数（1/(cosh x)）のn階微分を求めたいのですが、うまく計算できません。

cosh xをテイラー展開すると、Σ（x^2k/(2k)!）になるのは分かるのですが、これを利用してn階微分を計算するのでしょうか？

また、lim【x→∞】 (1/cosh x) = 0　から、
lim【x→∞】x^m* (1/cosh x) (n)= 0 (m：実整数）　を示すことはできますか？

(1/cosh x) (n)は(1/cosh x) のn階微分です。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

そうそう, 極限については 1/cosh x を展開してもいいね.

cosh x = (e^x + e^-x)/2 だから
1/cosh x = 2e^-2 - 2e^-3x + 2e^-5x - ...
と展開でき, これを n階微分すると各項は
k^n e^-kn
(k は奇数, ±は省略)
になる. これと「x の多項式」を掛けると x→∞ では (#2 でいわれるように) 0 に収束するので全体も 0 に収束する, と.

もちろんこれも「厳密な証明」ではないけど, 穴をふさぐことはできる.

回答No.2

FT56F001

> 双曲線関数cosh xの逆数（1/(cosh x)）のn階微分を求めたいのですが、うまく計算できません。

基本的には
(cosh x)'=sinh x，
(sinh x)'=cosh x，
(sinh x)^2=((cosh x)^2) - 1
を使って計算するのでしょうね。

数式処理ソフトで計算してみると，
cosh(x)=c,sinh(x)=sと略記して，

0階微分 1/c
1階微分 -s/c^2
2階微分 (c^2-2)/c^3
3階微分 s*(-c^2+6)/c4
4階微分 (c^4-20*c^2+24)/c^5
5階微分 s*(-c^4+60*c^2-120)/c^6
6階微分 (c^6 -182*c^4+840*c^2-720)/c^7
7階微分 s*(-c^6+546*c^4-4200*c^2+540)/c^8
となります。

これから一般形を推測します。
奇数と偶数で場合わけされて，
(2n-1)階微分は，s*F(n-1,c)/c^(2n)
2n階微分は，F(n,c)/c^(2n+1)
ただし，F(m,c)はcの2m次多項式で，偶数次項のみを含む。
F(m,c)=A[m]*c^(2m) + A[m-1]*c^(2m-2)+ ・・・+ A1*c^2 +A0
係数A0,A1,・・・,Amは整数

この一般則を，数学的帰納法で証明すれば，n階微分に関する一般的性質が言えます。

> lim【x→∞】x^m* (1/cosh x) (n)= 0 (m：実整数）
x->無限大　の時，cosh(x)もsinh(x)も，ほとんどexp(x)/2になります。

n階微分の分子のexp(x)に関する多項式の次数は，
分母のexp(x)に関する多項式の次数より
1次少なくなっています。
xの多項式よりexp(x)の方がはるかに大きくなるので，0に収束しそうです。

以上，厳格な証明になっていませんが，直観的ガイドラインまで

回答No.1

Tacosan

後者の極限だけなら卑怯だけど
sinh^n x / cosh^(n+1) x
の (1階) 微分でできそう.