合成関数のn回微分の公式？

質問

実関数の微分に対して、ライプニッツの公式は、

(fg)^(n)=Σ[k=0,n]C(n,k)f^(k)*g^(n-k)

です。
ところで、合成関数のn回微分の公式って考えれないのでしょうか？

一般化は難しそうなのでたとえば、
y=f(x)^a
のn回微分を書き表す方法はあるのでしょうか?
ライプニッツの公式は、係数に二項係数が使われましたが、合成関数のn回微分には、なんらかの数列が関係していたりするのでしょうか？

回答No.1

rikarin-h · ベストアンサー

確かに、ライプニッツの公式にはｎ階導関数について二項係数が使われていました。

しかし、合成関数といっても様々です。書き表せない関数を探す方が早いと思います。

http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Differentiation/Differential1VarFnctn/HigherOrderDerivatives.htm#ThrmNthDerivedFnctnOfComposition

合成関数の高階導関数は簡単な公式で表されません。その例として２変数関数の合成関数のｎ階導関数があります。合成関数と言っても簡単に一まとめにはできないということですね。