n次導関数

質問

f(x)=1/(1+x)のn次導関数をもとめたいんですが
f^(n)(x)=(-1)(-1-1)・・・(-1-n+1)(1+x)^(-1-n)
になるのがわかりません。
f(x)を1回微分したら(-1)*1^(-2)で
n回微分したら^(-2-n)だと思うのですが。
あと最後の項にxが残るのはなぜですか？

回答No.4

debut · ベストアンサー

＞n次導関数はf(x)を微分してそれをまた微分してを何度を繰り
＞返して最終的にどうなるかですよね。
まあ、そういうことです。
で、式f^(n)(x)=・・・は１回微分からｎ回微分をかけているわけではないです。
順々にかけていってるのは関数部分(1+x)^(・・)にかける数です。

＞(-1)(-1-1)とxが付いていません。
それは、２回目の微分で関数部分にかける数だけを言っているのであって、f^(2)(x)=(-1)(-1-1)(1+x)^(-1-1-1)とｘは出てきます。

(-1)(-1-1)　というところは２回微分したということをさしているわけではなくて、微分を２回目でやめたとすると、関数部分にかける数は(-1)(-1-1)になる、ということです。
(-1)(-1-1)(-1-1-1)　ならば微分を３回目でやめたとすると、関数部分にかける数は(-1)(-1-1)(-1-1-1)になる、ということです。
すると、ｎ回の微分でやめれば関数部分にかける数は
(-1)(-1-1)(-1-1-1)・・・・・(-1-n+1)になって、関数部分は(1+x)^(-1-n)となるから、
f^(n)(x)={(-1)(-1-1)(-1-1-1)・・・・・(-1-n+1)}(1+x)^(-1-n)という形になる、ということです。

わかりにくかったらすみません。

お礼

すごくわかりやすいです。
本当にどうもありがとうございました。

回答No.3

nettiw

f^(0)=[(1+x)^(-1)]
f^(1)=(-1)[(1+x)^(-2)]
f^(2)=(-1)(-2)[(1+x)^(-3)]
f^(3)=(-1)(-2)(-3)[(1+x)^(-4)]
f^(4)=(-1)(-2)(-3)(-4)[(1+x)^(-5)]
f^(5)=(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)[(1+x)^(-6)]
・・・
・・・
f^(n)=(-1)(-2)(-3)・・・(-n)[(1+x)^(-n-1)]
　　　=(n!)・[(-1)^n]・[(1+x)^(-n-1)]

　係数は(-1)から始まって(-n)で終わっています。
　係数の絶対値は、ｎ！です。
符号は、奇数次導関数では負、偶数次導関数で正ですから、[(-1)^n]です。
　(1+x)の次数は、
５　→　（５＋１）　→　－（５＋１）
ｎ　→　（ｎ＋１）　→　－（ｎ＋１）＝－ｎ－１　となります。

　納得できるまで、書いて見るのが良さそうです。

補足

新たな疑問が生まれてしまいました。
n次導関数はf(x)を微分してそれをまた微分してを何度を繰り返して
最終的にどうなるかですよね。
それなら1回微分からn回微分までどうして掛け算するのでしょうか？
根本的な話になってすみません。

回答No.2

debut

何回か書いてみれば
はじめ・・・(1+x)^(-1)
１回微分・・(-1)*(1+x)^(-2)
２回微分・・(-1)*(-2)*(1+x)^(-3)
３回微分・・(-1)*(-2)*(-3)*(1+x)^(-4)
４回微分・・(-1)*(-2)*(-3)*(-4)*(1+x)^(-5)
・・・・
０回で－１乗＝(－１－０)乗
１回で－２乗＝(－１－１)乗
２回で－３乗＝(－１－２)乗
３回で－４乗＝(－１－３)乗
となっているから、
ｎ回で　(－１－ｎ)乗です。。

あと、係数は
(-1)*(-2)*(-3)・・・・
は、初項-1、公差-1の等差数列の並びなので、ｎ番目は-1+(n-1)*(-1)=-1-n+1　と表せるから
(-1)*(-2)*(-3)*・・・*(-1-n+1)です。

＞あと最後の項にxが残るのはなぜですか？
あれ、関数f(x)=1/(1+x)を微分してるんでしょう。
＞f(x)を1回微分したら(-1)*1^(-2)
といっているところをみると、何か勘違いをしているのかもしれないですね。

補足

>１回微分・・(-1)*(1+x)^(-2)
問題が載っている冊子の答えを見ると
(-1)(-1-1)とxが付いていません。

回答No.1

koko_u_

>f(x)を1回微分したら(-1)*1^(-2)で
定数になってしまうという意味ですか？

補足

定数になっていいんですよね？
この場合の微分は^-1を前に下ろして^-2にして(1+x)を微分ですよね。