同値性

質問

数列A_nについて第n項までの和をS_nとしたとき

n=1のときS_1=A_1
かつ
n≧2のとき
S_n-S_(n-1)=A_n

ですよね？
これの同値性がどうなってるのか分からないので教えていただきたいです
具体的には

S_n=(n+1)^2のときA_nを求めよ

という問題で
A_1=S_1=4
かつ
A_n=S_n-S_(n-1)=(n+1)^2-n^2=2n+1(n≧2)

が答えだと思いますが同値性がわかりません
お教えください

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

←A No.4 補足
＞誤植と捉えてよろしいでしょうか？

変な処に喰いつきますね。
(1)⇒(3) だが (3)⇒(1) ではない…という話をしているのだから、
あの書きかたで意図どおりです。誤植じゃありませんよ。

(S1=A1かつ(3))⇔(1) なのですが、だとすれば、
(S1=A1かつ(3))⇒(1) も真でしょう？

本題の同値性については、考えてみましたか？

お礼

ご回答ありがとうございます

少し勘違いしていたようです

この度はお二方ともベストアンサーにさせていただきたいですが
Aliceさんをベストアンサーにさせていただきます

回答No.5

B-juggler

ゴメン遅くなりました。　補足ありがとう　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

Ｎｏ．１です。　σ(・・*)のところの補足では

Ｓ＿ｎ　　　　　（１）
Ｓ＿（ｎ－１）　（２）

としてみて、　（１）⇔（２）　　（２≦ｎ）　。

もう理解行ったと思うけど、

⇔　だけど　≠　ですね。

　　　ｎ　≠　ｎ－１　ね。　　ｎ＝∞　ならね、こういう風にも考えられるけど

　　そのときは　Ａｎ　自体がでませんね＾＾；

（１）と（２）は、数式上同値です。が　違う状態を表していますね。

＞一般的に同値なもの同士の辺々を引いたものは
＞元の式と同値になるということは聞いたことがないので
ここは、あっているのだけれども、
「違う状態」を示していますから　Ａｎ　が求まりますね。

　＃ｎ＝１５００とか、適当に入れてみたら分かり安いかな？

後は、ａｌｉｃｅさんが　（＃２～４さん）が書いてくださっていますので、

σ(・・*)の出る幕ではなさそうだけど、

（３）として　Ａｎ　が求められているときに、

（３）単独では　同値ではないですね　（１）　の　Ｓ＿ｎとは。

ｎ＝１のときが抜けていますからね。　「（３）⇒（１）」　これは

「Ａｎが何かしら確定している　⇒　Ｓ＿ｎが確定できる　」

が間違っている、って言うのは分かってもらえると思います。

ｎ＝１　が確定してないから、Ａ１が分からないので、Ｓ１も当然分かりませんね。

なので、この命題（論理式もどき）を成立させるには、

「Ａｎが何かしら確定している　∧　Ａ１も分かっている　⇒　Ｓ＿ｎが確定できる」
　＃言うまでもなく　Ａ１＝Ｓ１ね　（以下略するところは略＾＾；）
ここまで行かないといけないね。

で、この問題は　逆を考えるわけだから、

「Ｓ＿ｎが何かしら確定している　∧　Ｓ１が分かっている　⇒　Ａｎが確定できる」

これがいえないといけない。

これは真ですね　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

ちょっと追いかけておくと、Ｓ＿ｎ　が確定しているので、Ｓ＿（ｎ－１）も

同値性を損なわずに、確定できる（ｎ≧２）。　Ｓ＿ｎ　－　Ｓ＿（ｎ－１）　＝Ａｎ

とできる。よって　Ｓ１＝Ａ１　が分かっていれば、この命題は正しい。
　＃とまぁこんな感じ？かな？

Ｓ＿４　－　Ｓ＿３　＝　Ａ４　これはダイジョウブだよね（蛇足）

（Ａ１＋Ａ２＋Ａ３＋Ａ４）　－　（Ａ１＋Ａ２＋Ａ３）　＝Ａ４　だから（蛇足の続き）

Ｓ＿ｎ　と　Ｓ＿（ｎー１）　が異なっているというのはここでも分かるね。

たくさん書いたけど、結論は、Ａｌｉｃｅさんが書いてくださっています。

（１）　⇔　｛（３）∧Ｓ１（＝Ａ１）が分かっている｝　これになりますね。

Ｓ＿（ｎ－１）を出すときに同値性は損なわれていないけど、
（３）に　Ｓ１＝Ａ１が出てこないとまずいです。

こういうときは数学的帰納法と一緒です♪

長くなっちゃった、すみません。　フォロー感謝です。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ご回答ありがとうございます

大変詳しい説明ありがとうございました
数学的帰納法的考え方というのは大変わかり易いです！

また機会がありましたらよろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.4

alice_44

An は所与として、
(1) は S1 = A1 を含んでいますが、
(3) は S1 = A1 を含みません。
(1) ⇔ ( (3) かつ S1 = A1 )
なんです。

お礼

ご回答ありがとうございます

とするとNo.3様での

n≧2の範囲でも、(S1=A1かつ(3))⇒(1) とせねばならず、

は⇒でなく⇔の誤植と捉えてよろしいでしょうか？

回答No.3

alice_44

n≧2において(1)⇔(3) ではないです。

n≧2の範囲でも、(S1=A1かつ(3))⇒(1) とせねばならず、
(1)⇔(3) にはなりません。

お礼

ご回答ありがとうございます

(1)⇔(3)でないとすると話は必要十分で進んでるわけではないのですか？
S_n=(n+1)^2が与えられて、それを同値変形することによりA_nを求めて
いくと思ったのですが
同値変形しないと求められたA_nは最初に与えられた条件と異なるものが
最終的に得られることになってしまいませんか？

回答No.2

alice_44

(1)(2)が何を指しているか判らないのですが…
(3)だけでは Sn を全て決定するのに十分でない
から、S1 = A1 を使うのですよ。

補足

すいませんちょっと抜けていました
具体的には

n≧2において
S_n=(n+1)^2―(1)
⇔S_(n-1)=n^2―(2)

です

ここで最初に与えられた(1)を同値変形して
A_nを求めなければならないと思うのですが
(1)-(2)=(3)とすると

(3)は
A_n=2n+1
となりますよね

これとn=1のときのA_1=4を加えて
結局答えは
A_1=4かつA_n=2n+1(n≧2)
となると思いますがこれが正しいとすると
どうしてn≧2において
(1)⇔(3)になるのかがわかりません
(1)と(2)の辺々を引いたのだから
(1)は(3)かつ(1)(もしくは(2))と同値であるきがします
あくまでn≧2においての話です

回答No.1

B-juggler

こんばんは。ちょっと補足ください。ｍ（＿　＿）ｍ

どこについて、同値性を示したいのか分かりません。

ちょっと変な書き方だけど、何が聞きたいのか分からないと言ってもいいです。

理解力に乏しく、申し訳ないですが、補足ください。

ｍ（＿　＿）ｍ

補足

言葉足らずで申し訳ありませんm(_ _)m

分からない同値性の部分というのは後半の具体例で言えば

S_n=(n+1)^2
⇔A_1=4,A_n=2n+1(n≧2)

の部分です

S_nが与えられたとき、
n=1のときはS_1=A_1であり
n≧2の範囲では
S_nー(1)
⇔S_(n-1)ー(2)
ですよね？
ここで次にS_n-S_(n-1)=A_nー(3)と求めるわけですが
同値なもの同士である(1)と(2)の辺々を引いた(3)が
はたして(1)と同値なのかがわかりません
一般的に同値なもの同士の辺々を引いたものは
元の式と同値になるということは聞いたことがないので
(1)⇔(2)のとき(1)⇔(3)は言えないような気もします
自分の中では(1)⇔(1)かつ(3)であるような気もするのですが・・・

もし(1)⇔(3)でないのなら、n≧2でS_n-S_(n-1)からA_nを求める
という計算は論理的には必要条件でしか無く、十分性が
ないように思えます

このあたりの同値性が曖昧で分からないのです
ご教授お願いいたします