数列の和に関して

質問

現在高校2年です。独学で数列をやっているのですが、質問させていただきます。
数列の和に関して一般項を求める問題なのですが、Sn-S(n-1)=An わかりづらいかもしれないですが、数列の和をSn、Snからn≧2のときn-1したS(n-1)との差は、数列がひとつずつズレて、Anになるってことです。このAnは第n項の値なのはみたまんまなんですが、何でこれが一般項になるんですか？ただの末項なのに。どうぞよろしくお願いします。一応僕が考えたのは、第n項の値はある一般項にnを代入した値だから、末項でもあるし、一般項で表すこともできるみたいな感じなんですけど、違ってますか？しかし、問題には、Sn=3n(n+5)で表せるって書いてあるんですが、これ自体が和の一般項だから先ほどの公式に合わせてAnをだすとそれが一般項になるんですか？かなり混乱してます。

回答No.2

noname#109140 · ベストアンサー

Snは{An}の第1項から第n項までの和で、S(n-1)は第1項から第n-1項までの和です。ここで、Sn-S(n-1)を筆算のように書くと、

　　　 Sn = A1 + A2 + A3 + ……… + A(n-1) + An
-) S(n-1)= A1 + A2 + A3 + ……… + A(n-1)
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Sn-S(n-1)=An　…(1)

こうして書くと一目瞭然ですが Sn-S(n-1) をするとA1～A(n-1)まで全部消えます。

Sn=3n(n+5)なので、S(n-1)=3(n-1){(n-1)+5}になります。
これを(1)に代入すると、一般項Anの値が求まるというわけです

お礼

ずっとAnにこだわって考えてました！めちゃくちゃ鳥肌が立つぐらいびっくりしました！本当にありがとうございます！

回答No.3

arrysthmia

＞ 一応僕が考えたのは、第n項の値はある一般項にnを代入した値だから、
＞ 末項でもあるし、一般項で表すこともできるみたいな感じなんですけど、
＞ 違ってますか？

何だか、考えなくてもよいことを深く考えてしまった感じですが、
言っていることはホボあたっていると思います。

数列 { Ak } を第 n 項で打ち切った有限列の末項は、もとの { Ak } の第 n 項である。
…と言い直せば、ワザワザ言うまでもない、単純な事実です。

お礼

回答本当にありがとうございました！おかげですごく助かりました！

回答No.1

foriver7

>何でこれが一般項になるんですか？ただの末項なのに
Anはただ単に,数列
A1,A2,A3,・・・An,・・・
の第n項に過ぎない(今の状況だと末項)のは,dai22sukerさんの思っているとおりですが,第n項ということは,ある数列がnという文字で一般的に表わされているということです.なぜならn=1,2,3,・・・とするとこの場合A1,A2,A3,・・・Anのすべての値が分かるため.(→一般的に表わされている.)
つまり,一般項とは,極端な話,ｎでなくても数列がある文字で一般的に表わされればいいのです.

参考までにチャートの一般項の定義を載せておきます.

一般に,n番目の項Anを,この数列の第n項という.Anがnの式で書かれ,それによって数列が一般的に表わされるとき,Anを一般項という.

お礼

素早い回答とても感謝いたします。ありがとうございました。何かもやもやがはれたような気がします。