等比数列

質問

ある数列の和の第ｎ項までの和をSnとするとき、数列S1,S2・・・Snが等比数列をなすという。はじめの数列は等比数列といえるか。という問題なのですが、はじめの数列を｛an}とすればa1=S1=a n≧2のとき　an=ar^(n-1)-ar^(n-2)=ar^n-2(r-1)
まではわかりますが、この先どのように証明していけばよいのか分かりません。
等比数列だからan=ar^(n-1)の形にもっていかなければいけないと思うのですがどのようにもっていけばよいのでしょうか？ご教示をお願いいたします。

回答No.1

f272

例えば，S[n]が初項1，公比2の等比数列なら
S[n]={1,2,4,8,16,...}
a[n]={1,1,2,4,8,...}
です。明らかにa[n]は等比数列ではありません。

S[n]=ar^(n-1)とおけば
n≧2のときS[n-1]=ar^(n-2)ですから
S[n]-S[n-1]=a[n]=ar^(n-1)-ar^(n-2)=ar^(n-2)*(r-1)となります。
したがって n≧2のときa[n]=(a(r-1)/r)*r^(n-1)となり，等比数列となります。
しかし，この式でn=1とおけばa[1]=a(r-1)/rとなりますが，実際にはa[1]=S[1]=a≠a(r-1)/rです。つまりa[n]は2項目以降だけが等比数列になるのです。