数I.三角比

質問

△ABCにおいてAB=8、BC=13、CA=7とする。
内接円の中心をIとしたとき、AIを求めよ。

わかるかたおねがいします(+.+)

回答No.1

noname#135571 · ベストアンサー

*は掛け算×のことです
余弦定理
cosA=(CA^2+AB^2-BC^2)/(2*CA*AB)
より
cosA=(7^2+8^2-13^2)/(2*7*8)
=(49+64-169)/112
=-56/112
=-1/2
A=120°
面積はs=(1/2)*CA*AB*sinA
=(1/2)*7*8*sin120°
=28*(√3/2)=14√3
内接円の半径rと面積の関係式
S=r(BC+CA+AB)
より
14√3=AI*(8+13+7)
14√3=28AI
AI=√3/2

回答No.3

noname#135571

すみません最後の5行は間違いのためムシしてください
S=r*(AB+BC+CA)/2
より
14√3=r*(8+7+13)/2
r=√3

IからABにおろした垂線の足をHとすると
AB-AHとCA-AHを足したものがBCと同じなので
(8-AH)+(7-AH)=13
-2AH=-2
AH=1
よって
△AIHにおいて
AI^2=r^2+AH^2
=(√3)^2+1=4
AI=2

お礼

ありがとうございますm(__)m
１つだけ質問なんですが、
ABからAHをひいたものと、
ACからAHをひいたものをたすと
BCと等しくなるのはなぜですか(><)??

回答No.2

rnakamra

#1の方法で内接円の半径rを得ます。
AI*sin∠IAB=r
の関係がありますので
AI=r/sin∠IAB
となります。

ここでAIは∠Aの二等分線であることから∠AIB=(1/2)∠Aであり、∠IAB=60°とわかります。
sin60°の大きさはわかりますよね。

お礼

ありがとうございますm(__)m