数Ａ(2)！

質問

△ＡＢＣにおいて、ＡＢ=８、BC=13、CA=７のとき、次の値を求めよ。
1)内接円の半径ｒ
2)内接円の中心をＩとしたときAI

よろしくおねがいします(;;)！

回答No.1

nattocurry · ベストアンサー

（１）
余弦定理より、
ｃｏｓＡ＝（６４＋４９－１６９）／（２×８×７）
＝－５６／（２×５６）
＝－１／２
Ａ＝１２０°

ｓｉｎ１２０°＝√３／２

△ＡＢＣ＝ＡＢ×ＣＡ×ｓｉｎ１２０°÷２
＝８×７×√３／２÷２
＝１４√３

また、内心円の中心をＩとすると、
△ＡＢＣ＝△ＩＡＢ＋△ＩＢＣ＋△ＩＣＡ
＝ＡＢ×ｒ÷２＋ＢＣ×ｒ÷２＋ＣＡ×ｒ÷２
＝（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）×ｒ÷２
＝（８＋１３＋７）×ｒ÷２
＝２８×ｒ÷２
＝１４ｒ

△ＡＢＣ＝１４√３　なので、
１４√３＝１４ｒ
ｒ＝√３

（２）
ＩからＡＢに下ろした垂線の足をＨとすると、
（ＡＢ－ＡＨ）＋（ＣＡ－ＡＨ）＝ＢＣ
８－ＡＨ＋７－ＡＨ＝１３
２＝２ＡＨ
ＡＨ＝１

ＡＨ＾２＋ｒ＾２＝ＡＩ＾２
１＋３＝ＡＩ＾２
ＡＩ＾２＝４
ＡＩ＝２

回答No.2

nattocurry

（１）で△ＡＢＣの面積を求めるときに、ヘロンの公式を使って、

△ＡＢＣ＝√｛（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）（－ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）（ＡＢ－ＢＣ＋ＣＡ）（ＡＢ＋ＢＣ－ＣＡ）｝／４
＝√｛（８＋１３＋７）（－８＋１３＋７）（８－１３＋７）（８＋１３－７）｝／４
＝√（２８×１２×２×１４）／４
＝√（４×７×４×３×２×２×７）／４
＝４×７×２√３／４
＝１４√３

と求めることもできます。