数学 三角比

質問

以下の問題の解答・解説をお願い致します。

AB=n、BC=n+1、CA=n+2である三角形ABCにおいて、tanC=4/3であるとき次の問に答えよ。
　（1）sinC、cosCの値を求めよ
　（2）nの値を求めよ
　（3）三角形ABCの面積と内接円の半径を求めよ

ご回答宜しくお願い致します。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
0<C<πなので
tanC=4/3から
π/4<C<π/2なので cosC>0,sinC>0
公式：1+tan^2(C)=1/cos^2(C)より
cosC=1/√(1+tan^2(C))=1/√(1+(4/3)^2)=3/5
sinC=tanC*cosC=(4/3)*(3/5)=4/5

(2)
余弦定理より
cosC={(n+1)^2+(n+2)^2-n^2}/{2(n+1)(n+2)}=3/5
5(n^2+6n+5)=6(n^2+3n+2)
n^2-12n-13=0
(n+1)(n-13)=0
n>0より　n=13

(3)
△ABCの面積S=BC*CAsin(C)/2=(n+1)(n+2)sin(C)/2=14*15*(4/5)=84
内接円の半径をrとすると
S=(AB+BC+CA)r/2={n+(n+1)+(n+2)}r/2=3(n+1)r/2 より
r=2S/(3(n+1))=2*84/(3*14)=4

お礼

全問丁寧に解説していただき、ありがとうございます。