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三角比の問題がわかりません
△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝３、ＢＣ＝３√３、∠ＣＡＢ＝１２０°とする。 （１）ＣＡ＝ （２）ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝ （３）△ＡＢＣの外接円の半径Ｒ＝ どの公式を使うのかわかりません。教えてください。
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（１） 余弦定理より ＢＣ＾２＝ＡＢ＾２＋ＣＡ＾２－２ＡＢ・ＣＡ・ｃｏｓＡ に与えられた数値を代入すればＣＡの方程式になります。 （２） 余弦定理より ＣＡ＾２＝ＡＢ＾２＋ＢＣ＾２－２ＡＢ・ＢＣ・ｃｏｓＢ （１）までで辺の長さは既知なので、これらを代入すればｃｏｓＢがわかります。 （３） 正弦定理より ＢＣ／ｓｉｎＡ＝２Ｒ （Ｒは外接円の半径）
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- 67300516
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まず(１) この三角形には余弦定理が使えます。 この三角形の辺CAを求める場合、 BCの２乗＝ABの２乗＋CAの２乗－２×AB×CA×cos∠CABとなります。 求めたいCAの長さをαとしましょう。 先ほどの式に今わかっている辺の長さ、角度を代入します。 そうすると、 (3√3)の２乗＝3の２乗＋αの２乗－2×3×α×cos120゜となります。 これを計算してαの値を求めます。 (3√3)の２乗＝3の２乗＋αの２乗－2×3×α×cos120゜ ↓ 27＝9＋αの２乗－6α×cos120゜ cos120゜＝－1/2なので代入します。 27＝9＋αの２乗－6α×(－1/2) ↓ 27＝9＋αの２乗＋3α ↓ αの２乗＋3α－18＝0 ↓因数分解をします。 (α＋6)(α－3)＝0 ↓ α＝－6、3 辺の長さですので －6ということはありません。 よって α＝3 したがって CA＝3となります。 続いて(２) (１)よりCA＝3なので 三角形ABCはAB＝CAの二等辺三角形となります。 また ∠ABC＝∠BCAでもあります。 ∠CAB＝120゜であることから ∠ABC＝∠BCA＝30゜となります。 ∠ABC＝30゜より cos30゜＝√3/2 よって cos∠ABC＝√3/2となります。 別解として 余弦定理を使って cos∠ABCを求める方法もあります。 この場合、 CAの２乗＝ABの２乗＋BCの２乗－2×AB×BC×cos∠ABCとなります。 この式に今わかっている辺の長さを代入します。 すると 3の２乗＝3の２乗＋(3√3)の２乗－2×3×3√3×cos∠ABCとなります。 これを解いて、 9＝9＋27－18√3×cos∠ABC ↓ 18√3cos∠ABC＝27 ↓ cos∠ABC＝√3/2 このようにして 余弦定理を用いて求めることも可能です。 長くなりましたが 最後に(３)を解きたいと思います。 正弦定理(AB/sinC＝BC/sinA＝CA/sinB＝2R)を使います。 Rは外接円の半径です。 AB/sinC、BC/sinA、CA/sinBのどれを使ってもよいのですが AB/sinCを使ってみたいと思います。 この場合、 正弦定理はAB/sinC＝2Rとなります。 この式に今わかっている辺の長さ、角度を代入します。 すると 3/sin30゜＝2Rとなります。 sin30゜＝1/2なので これを解いて 3/1/2＝2R (3÷1/2＝2R→3×2＝2R) ↓ 6＝2R よって R＝3 したがって 三角形ABCの外接円の半径は3ということになります。 これで 解説は全て終わりです。 自分自身は高校生なので多少分かりにくい部分もあるかと思いますがご了承下さい。
お礼
とても詳しく教えてくれて、ありがとうございます。 答え合わせをしたら全部正解だったので、気分もすっきりしました。
お礼
わかりやすく端的に解説してくれて、ありがとうございました。 今後はよく似た問題なら自力で解けそうです。